Мера Жордана

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного объёма в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном евклидовом пространстве.

Определение

Меру Жордана можно определить как единственную конечно-аддитивную меру, определённую на кольце многогранников и удовлетворяющую следующим условиям:

Меры конгруэнтных многогранников равны.
Мера единичного куба равна единице.

Максимальное кольцо множеств, на которое мера Жордана продолжается единственным образом, называется кольцом квадрируемых множеств.

Построение

Мера Жордана [math]\displaystyle{ m\Delta }[/math] параллелепипеда [math]\displaystyle{ \Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i] }[/math] в [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] определяется как произведение

[math]\displaystyle{ m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i). }[/math]

Для ограниченного множества [math]\displaystyle{ E\subset\R^n }[/math] определяются:

внешняя мера Жордана
[math]\displaystyle{ m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E }[/math]
внутренняя мера Жордана
[math]\displaystyle{ m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m = \varnothing }[/math], если [math]\displaystyle{ k\neq m, }[/math]

здесь [math]\displaystyle{ \Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N }[/math] — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество [math]\displaystyle{ E }[/math] называется измеримым по Жордану (или квадрируемым), если [math]\displaystyle{ m_eE=m_iE }[/math]. В этом случае мера Жордана равна [math]\displaystyle{ mE=m_eE=m_iE }[/math].

Свойства

Множества, измеримые по Жордану, образуют кольцо, на котором мера Жордана является конечно-аддитивной мерой.
Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
Множество [math]\displaystyle{ F }[/math] измеримо по Жордану, если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] существует пара многогранников [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] таких, что
[math]\displaystyle{ P\subset F\subset Q }[/math] и [math]\displaystyle{ mP+\varepsilon\gt m Q }[/math].
Ограниченное множество [math]\displaystyle{ E\subset\R^n }[/math] измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет нулевую меру Жордана (или, что равносильно, когда его граница имеет нулевую меру Лебега). В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану.
Внешняя мера Жордана одна и та же для [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ \bar E }[/math] (замыкания множества [math]\displaystyle{ E }[/math]) и равна мере Бореля [math]\displaystyle{ \bar E }[/math].

История

Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Пример множества, неизмеримого по Жордану

Рассмотрим меру Жордана [math]\displaystyle{ m }[/math], определённую на [math]\displaystyle{ \R }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ A= \left[0, 1\right] = \{x\in\R\colon 0\leqslant x\leqslant 1\} }[/math] — множество точек единичного отрезка., [math]\displaystyle{ \Q }[/math] — подмножество рациональных точек множества [math]\displaystyle{ A }[/math], тогда [math]\displaystyle{ \Q }[/math] — неизмеримое по Жордану множество, так как [math]\displaystyle{ m_e \Q=1,\;m_i \Q=0,\;m_e \Q\neq m_i \Q }[/math], то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают (хотя это множество измеримо по Лебегу).

Литература

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 3;
Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

См. также