Неопределённый интеграл

Неопределённый интегра́л для функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] определена и непрерывна на промежутке [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] и [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] — её первообразная, то есть [math]\displaystyle{ F'(x) = f(x) }[/math] при [math]\displaystyle{ a\lt x\lt b }[/math], то

[math]\displaystyle{ \int f(x) dx = F(x) + C, }[/math] [math]\displaystyle{ a\lt x\lt b }[/math],

где С — произвольная постоянная.

Основные свойства неопределённого интеграла приведены ниже.

[math]\displaystyle{ d\left (\int f(x)dx \right ) = f(x) dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int d(F(x)) = F(x)+C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int a \cdot f(x) dx = a \cdot \int f(x)dx, a \neq 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx }[/math]

Если [math]\displaystyle{ \int f(x) dx = F(x) + C }[/math], то и [math]\displaystyle{ \int f(u) du = F(u)+C }[/math], где [math]\displaystyle{ u = \varphi (x) }[/math] — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Подведение под знак дифференциала

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

[math]\displaystyle{ du=d(u+C) }[/math]

[math]\displaystyle{ du = {1 \over a} d(au) }[/math]

[math]\displaystyle{ f'(u) \cdot du = d(f(u)) }[/math]

Основные методы интегрирования

Основная статья: Методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

[math]\displaystyle{ \int g(x) dx = G(x) + C, }[/math]

то

[math]\displaystyle{ \int g(u) du = G(u) + C, }[/math]

где [math]\displaystyle{ u = \varphi (x) }[/math] — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

[math]\displaystyle{ g(x)= g_1(x) + g_2(x), }[/math]

то

[math]\displaystyle{ \int g(x) dx = \int g_1(x) dx + \int g_2(x)dx. }[/math]

3. Метод подстановки. Если [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] — непрерывна, то, полагая

[math]\displaystyle{ x = \varphi (t), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varphi (t) }[/math] непрерывна вместе со своей производной [math]\displaystyle{ \varphi' (t) }[/math], получим

[math]\displaystyle{ \int g(x) dx = \int g(\varphi (t))\varphi' (t) dt. }[/math]

4. Метод интегрирования по частям. Если [math]\displaystyle{ u }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math] — некоторые дифференцируемые функции от [math]\displaystyle{ x }[/math], то

[math]\displaystyle{ \int u dv = uv - \int v du. }[/math]

Таблица основных неопределённых интегралов

[math]\displaystyle{ \int 0 \cdot dx = C ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int 1 \cdot dx = x + C ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C }[/math] [math]\displaystyle{ (n \ne -1); }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{1}{x} dx = \ln \mid x \mid + C ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int e^x dx = e^x + C ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, }[/math] [math]\displaystyle{ (a\gt 0, a \ne 1); }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \cos x \, dx = \sin x + C ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \sin x \, dx = -\cos x + C ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac {dx}{\cos^2 x} = \mathrm{tg}\, x + C ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac {dx}{\sin^2 x} = - \mathrm{ctg}\, x + C ; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac {dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C_1 = - \arccos x + C_2\quad (C_2 = \frac {\pi}{2} + C_1); }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac {dx}{1+x^2} = \mathrm{arctg}\, x + C; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \mathrm{ch}\, x dx = \mathrm{sh}\, x + C; }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \mathrm{sh}\, x dx = \mathrm{ch}\, x + C; }[/math]

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа [math]\displaystyle{ C }[/math] такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

См. также

• Первообразная
• Определённый интеграл
• Основная теорема анализа
• Знак интеграла
• Интегральное исчисление
• Численное интегрирование
• Методы интегрирования
• Список интегралов элементарных функций
• Таблица интегралов

Литература

• Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.
• Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).

• Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Онлайн Калькулятор Интегралов Архивная копия от 6 января 2010 на Wayback Machine
• Онлайн калькулятор интегралов с подробным пошаговым решением на русском языке Архивная копия от 29 апреля 2014 на Wayback Machine
• Интеграл — статья из Большой советской энциклопедии.