Материал из энциклопедии Руниверсалис
Центрированные многоугольные числа — это класс плоских [math]\displaystyle{ k }[/math]-угольных фигурных чисел ([math]\displaystyle{ k \geqslant 3 }[/math]), получаемый следующим геометрическим построением. Сначала на плоскости фиксируется некоторая центральная точка. Затем вокруг неё строится правильный [math]\displaystyle{ k }[/math]-угольник с [math]\displaystyle{ k }[/math] точками вершин, каждая сторона содержит две точки (см. рисунок). Далее снаружи строятся новые слои [math]\displaystyle{ k }[/math]-угольников, причём каждая их сторона на новом слое содержит на одну точку больше, чем в предыдущем слое, то есть начиная со второго слоя каждый следующий слой содержит на [math]\displaystyle{ k }[/math] больше точек, чем предыдущий. Общее число точек внутри каждого слоя и принимается в качестве центрированного многоугольного числа (точка в центре считается начальным слоем)[1].
Примеры построения центрированных многоугольных чисел:
| Треугольные
|
Квадратные
|
Пятиугольные
|
Шестиугольные
|
|
|
|
|
Из построения видно, что центрированные многоугольные числа получаются как частичные суммы следующего ряда: [math]\displaystyle{ 1+k+2k+3k+4k+\dots }[/math] (например, центрированные квадратные числа, для которых [math]\displaystyle{ k=4, }[/math] образуют последовательность: [math]\displaystyle{ 1, 5, 13, 25, 41\dots }[/math]) Этот ряд можно записать как [math]\displaystyle{ 1+k(1+2+3+4+\dots). }[/math], откуда видно, что в скобках — порождающий ряд для классических треугольных чисел. Следовательно, каждая последовательность центрированных [math]\displaystyle{ k }[/math]-угольных чисел, начиная со 2-го элемента, может быть представлена как [math]\displaystyle{ kT_n+1, }[/math] где [math]\displaystyle{ T_n (n=1,2,3\dots) }[/math] — последовательность треугольных чисел. Например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1, порождающий ряд для них имеет вид: [math]\displaystyle{ 1+4+8+12\dots }[/math][2]
Общая формула[2] для [math]\displaystyle{ n }[/math]-го центрированного [math]\displaystyle{ k }[/math]-угольного числа [math]\displaystyle{ C^{(k)}_n }[/math]:
| [math]\displaystyle{ C^{(k)}_n = 1+k\frac{n(n-1)}{2} = \frac{kn^2-kn+2}{2}; \ n=1,2,3\dots }[/math]
|
(ОЦФ)
|
Сводная таблица
| Число углов k |
Тип числа |
Начало последовательности |
Ссылка на OEIS
|
| 3 |
Центрированные треугольные числа |
1, 4, 10, 19, 31, … |
A005448
|
| 4 |
Центрированные квадратные числа |
1, 5, 13, 25, 41, … |
A001844
|
| 5 |
Центрированные пятиугольные числа |
1, 6, 16, 31, 51, … |
A005891
|
| 6 |
Центрированные шестиугольные числа |
1, 7, 19, 37, 61, … |
A003215
|
| 7 |
Центрированные семиугольные числа |
1, 8, 22, 43, 71, … |
A069099
|
| 8 |
Центрированные восьмиугольные числа |
1, 9, 25, 49, 81, … |
A016754
|
| 9 |
Центрированные девятиугольные числа |
1, 10, 28, 55, 91, … |
A060544
|
| 10 |
Центрированные десятиугольные числа |
1, 11, 31, 61, 101, … |
A062786
|
и так далее.
Примечания
Литература
Ссылки
