Пятиугольное число

Геометрическое представление первых пятиугольных чисел

Пятиугольные числа — один из классов классических многоугольных чисел. Последовательность пятиугольных чисел имеет вид (последовательность A000326 в OEIS):

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477…

Общая формула для [math]\displaystyle{ n }[/math]-го по порядку пятиугольного числа:

[math]\displaystyle{ P^{(5)}_n = {\frac{3n^2-n}{2}} }[/math]

Определение

Пятиугольные числа, как и все прочие классические [math]\displaystyle{ k }[/math]-угольные числа, можно определить как частичные суммы арифметической прогрессии, которая начинается с 1, а разность её для пятиугольных чисел равна [math]\displaystyle{ k-2=3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ 1+4+7+10+\dots }[/math]

Можно также определить [math]\displaystyle{ n }[/math]-е пятиугольное число как сумму последовательных натуральных чисел:

[math]\displaystyle{ P^{(5)}_n = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + \dots + (2n-1) }[/math]

Сумма [math]\displaystyle{ n }[/math]-го квадратного числа с [math]\displaystyle{ (n-1) }[/math]-м треугольным числом даёт [math]\displaystyle{ n }[/math]-е пятиугольное число:

[math]\displaystyle{ n^2 + T_{n-1}= P^{(5)}_n }[/math]

Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век).

Наконец, ещё один способ определения пятиугольного числа — рекурсивный:

[math]\displaystyle{ P^{(5)}_1 = 1;\quad P^{(5)}_n = P^{(5)}_{n-1} + 3n - 2 = 2P^{(5)}_{n-1} - P^{(5)}_{n-2} + 3 }[/math]

Свойства

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными:

[math]\displaystyle{ P^{(5)}_n = \frac{n(3n-1)}{2} = T_{n-1} + n^2 = T_n + 2T_{n-1} = T_{2n-1} - T_{n-1} = \frac{1}{3}T_{3n-1} }[/math]

Если в формуле [math]\displaystyle{ \frac{n(3n-1)}{2} }[/math] указать для [math]\displaystyle{ n }[/math] более общую последовательность:

[math]\displaystyle{ n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots }[/math]

то получатся обобщённые пятиугольные числа:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155... (последовательность A001318 в OEIS)

Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве:

[math]\displaystyle{ (1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3)\ldots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} - x^{35} - x^{40} + \ldots }[/math]

Степени [math]\displaystyle{ x }[/math] в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел.

Проверка на пятиугольное число

Задача. Выяснить, является ли заданное натуральное число [math]\displaystyle{ x\gt 2 }[/math] пятиугольным.

Решение. Вычислим значение выражения:

[math]\displaystyle{ n = \frac{\sqrt{24x+1} + 1}{6}. }[/math]

[math]\displaystyle{ x }[/math] является пятиугольным числом тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ n }[/math] — целое число, причём номер [math]\displaystyle{ x }[/math] в последовательности пятиугольных чисел равен [math]\displaystyle{ n. }[/math]

Квадратные пятиугольные числа

Существуют числа, одновременно квадратные и пятиугольные:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801… (последовательность A036353 в OEIS

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
• Dickson L. E. Polygonal. pyramidal and figurate numbers // History of the Theory of Numbers. — New York : Dover, 2005. — Vol. 2: Diophantine Analysis. — P. 22—23.

Ссылки

• Фигурные числа (неопр.). Издательская группа ОСНОВА. Дата обращения: 10 февраля 2021.
• Weisstein, Eric W. Figurate Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Centered Polygonal Numbe (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.