Тетраэдральное число

Пирамида с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел

Тетраэдра́льные числа, называемые также треугольными пирамидальными числами — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник. [math]\displaystyle{ n }[/math]-е по порядку тетраэдра́льное число [math]\displaystyle{ \Delta_n }[/math] определяется как сумма [math]\displaystyle{ n }[/math] первых треугольных чисел :

[math]\displaystyle{ \Delta_n = T_1 + T_2 + \dots +T_n }[/math]

Начало последовательности тетраэдральных чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS).

Формула

Общая формула для [math]\displaystyle{ n }[/math]-го тетраэдрального числа:

[math]\displaystyle{ \Delta_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}. }[/math]

Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:

[math]\displaystyle{ \Delta_n = C^3_{n+2} = \binom{n+2}{3}. }[/math]

Свойства

Тетраэдральные числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля.

Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:

[math]\displaystyle{ \Delta_1 = 1^2 = 1 }[/math],

[math]\displaystyle{ \Delta_2 = 2^2 = 4 }[/math],

[math]\displaystyle{ \Delta_{48} = 140^2= 19600 }[/math].

Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

[math]\displaystyle{ \Delta_1 = T_1 = 1 }[/math],

[math]\displaystyle{ \Delta_3 = T_4 = 10 }[/math],

[math]\displaystyle{ \Delta_6 = T_{15} = 120 }[/math],

[math]\displaystyle{ \Delta_{20} = T_{55} = 1540 }[/math],

[math]\displaystyle{ \Delta_{34} = T_{119} = 7140 }[/math],

Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.

Можно заметить, что:

[math]\displaystyle{ \Delta_5 = \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3 + \Delta_4 }[/math]

Ряд из обратных тетраэдральных чисел является телескопическим и поэтому сходится:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\Delta_n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2}. }[/math]

Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов.

Многомерное обобщение

Трёхмерные тетраэдральные числа можно обобщить на четыре и более измерений, аналогично переходу от треугольных чисел к тетраэдральным. Аналогом тетраэдральных чисел в [math]\displaystyle{ d }[/math]-мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральными:

[math]\displaystyle{ S^{[d]}_n = \frac{(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!} = \frac{\prod_{k=0}^{d-1} (n+k)} {d!}. }[/math].

Их частным случаем выступают:

• [math]\displaystyle{ S^{[2]}_n }[/math] — треугольные числа.
• [math]\displaystyle{ S^{[3]}_n }[/math] — тетраэдральные числа.
• [math]\displaystyle{ S^{[4]}_n }[/math] — пентатопные числа.

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

• Фигурные числа
• Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
• On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà