Нормальная подгруппа
Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.
Определения
Подгруппа [math]\displaystyle{ N }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента [math]\displaystyle{ n }[/math] из [math]\displaystyle{ N }[/math] и любого [math]\displaystyle{ g }[/math] из [math]\displaystyle{ G }[/math] элемент [math]\displaystyle{ g n g^{-1} }[/math] лежит в [math]\displaystyle{ N }[/math]:
- [math]\displaystyle{ N \triangleleft G\, \iff\, \forall\, n\in N, \forall\ g\in G }[/math] [math]\displaystyle{ gng^{-1}\in{N}. }[/math]
Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:
- Для любого [math]\displaystyle{ g }[/math] из [math]\displaystyle{ G }[/math] [math]\displaystyle{ gNg^{-1} \sube N }[/math].
- Для любого [math]\displaystyle{ g }[/math] из [math]\displaystyle{ G }[/math] [math]\displaystyle{ gNg^{-1} = N }[/math].
- Множества левых и правых смежных классов [math]\displaystyle{ N }[/math] в [math]\displaystyle{ G }[/math] совпадают.
- Для любого [math]\displaystyle{ g }[/math] из [math]\displaystyle{ G }[/math] [math]\displaystyle{ gN = Ng }[/math].
- [math]\displaystyle{ N }[/math] изоморфна объединению классов сопряжённых элементов.
Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.
Примеры
- [math]\displaystyle{ \{ e \} }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] — всегда нормальные подгруппы [math]\displaystyle{ G }[/math]. Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа [math]\displaystyle{ G }[/math] называется простой.
- Центр группы — нормальная подгруппа.
- Коммутант группы — нормальная подгруппа.
- Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.
- Все подгруппы [math]\displaystyle{ N }[/math] абелевой группы [math]\displaystyle{ G }[/math] нормальны, так как [math]\displaystyle{ g N = N g }[/math]. Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.
- Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.
- В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.
Свойства
- Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
- Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
- Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
- Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
- Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если [math]\displaystyle{ p }[/math] — наименьший простой делитель порядка [math]\displaystyle{ G }[/math], то любая подгруппа индекса [math]\displaystyle{ p }[/math] нормальна.
- Если [math]\displaystyle{ N }[/math] — нормальная подгруппа в [math]\displaystyle{ G }[/math], то на множестве левых (правых) смежных классов [math]\displaystyle{ G / N }[/math] можно ввести групповую структуру по правилу
- [math]\displaystyle{ (g_1 N)(g_2 N)=(g_1 g_2)N }[/math]
- Полученное множество называется факторгруппой [math]\displaystyle{ G }[/math] по [math]\displaystyle{ N }[/math].
- [math]\displaystyle{ N }[/math] нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах [math]\displaystyle{ G / N }[/math].
- Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной
Исторические факты
Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
- Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.
