Ядро (алгебра)
Ядро в алгебре — характеристика отображения [math]\displaystyle{ \ f : A \rightarrow B }[/math], обозначаемая [math]\displaystyle{ \ker\,f }[/math], отражающая отличие [math]\displaystyle{ f }[/math] от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента [math]\displaystyle{ e }[/math]. Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] множество [math]\displaystyle{ \ker\,f }[/math] всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, нейтрального элемента из [math]\displaystyle{ A }[/math]).
Если множества [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то [math]\displaystyle{ \ker\,f }[/math] также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\,f }[/math] и фактормножество [math]\displaystyle{ A / \ker\,f }[/math].
Ядро линейного отображения
Ядром линейного отображения [math]\displaystyle{ f:\, V\to U }[/math] называется прообраз нулевого элемента пространства [math]\displaystyle{ U }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \ker f = \{ x\in V: f(x) = 0 \}. }[/math]
[math]\displaystyle{ \ker f }[/math] является подпространством в [math]\displaystyle{ V }[/math]. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства [math]\displaystyle{ V }[/math]. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ [math]\displaystyle{ f }[/math] изоморфен факторпространству [math]\displaystyle{ V }[/math] по ядру [math]\displaystyle{ f }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\,f \simeq V / \ker f. }[/math]
Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность [math]\displaystyle{ V }[/math] конечна:
- [math]\displaystyle{ \dim\mathrm{Im}\,f = \dim V - \dim\ker f, }[/math]
а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:
- [math]\displaystyle{ f^{-1}(u) = v_0 + \ker f, ~~~ f(v_0) = u, ~~~ v_0\in V, ~ u\in U. }[/math]
Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.
Теория матриц
Любую прямоугольную матрицу [math]\displaystyle{ G }[/math] размера [math]\displaystyle{ m \times n }[/math], содержащую элементы поля [math]\displaystyle{ K }[/math] (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор [math]\displaystyle{ g: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m }[/math] умножения векторов слева на матрицу:
- [math]\displaystyle{ g(v) = G v,~~~ v \in \mathbb{K}^n }[/math]
Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с [math]\displaystyle{ n }[/math] неизвестными
- [math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} a_{1 1} x_1 + \ldots + a_{1 n} x_n = b_1; \\ \ldots ~~ \ldots ~~ \ldots ~~ \\ a_{m 1} x_1 + \ldots + a_{m n} x_n = b_m. \end{matrix}\right. }[/math]
можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{b} = (b_1,\;\ldots,\;b_m) }[/math], а задача о решении однородной системы уравнений ([math]\displaystyle{ \mathbf{b}=\mathbf{0} }[/math]) сводится к поиску ядра отображения [math]\displaystyle{ g }[/math].
Пример
Пусть [math]\displaystyle{ f }[/math] будет линейным отображением [math]\displaystyle{ f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3 }[/math] и:
- [math]\displaystyle{ f(\vec{x})= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ 0\end{pmatrix}. }[/math]
Тогда его ядро является векторным подпространством:
- [math]\displaystyle{ \ker f = \left\{ \begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \mid \lambda \in \mathbb R \right\}. }[/math]
Гомоморфизм групп
Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — гомоморфизм между группами, то [math]\displaystyle{ \ker f }[/math] образует нормальную подгруппу [math]\displaystyle{ A }[/math].
Гомоморфизм колец
Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — гомоморфизм между кольцами, то [math]\displaystyle{ \ker f }[/math] образует идеал кольца [math]\displaystyle{ A }[/math].
См. также
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.