Тригонометрические функции
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса, косеканса
Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции[1], которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла дуги в круге). Эти функции нашли широкое применение в самых разных областях науки. По мере развития математики определение тригонометрических функций было расширено, в современном понимании их аргументом может быть произвольное вещественное или комплексное число.
Раздел математики, изучающий свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.
К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:
- прямые тригонометрические функции:
- синус (
); - косинус (
);
- производные тригонометрические функции:
- тангенс
; - котангенс
;
- секанс
; - косеканс
;
- арксинус, арккосинус и т. д.
В типографике литературы на разных языках сокращённое обозначение тригонометрических функций различно, например, в англоязычной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются
Кроме этих шести широко известных тригонометрических функций, иногда в литературе используются некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.).
Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначны, периодичны и бесконечно дифференцируемы, за исключением счётного числа разрывов второго рода: у тангенса и секанса в точках
Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.
Способы определения
Определение для острых углов
Тригонометрические функции острого угла
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=The_Soviet_Union_1961_CPA_2627_stamp_%28Publicizing_Communist_labor_teams_in_their_efforts_for_labor._education_and_relaxation._Workers_studying_mathematics%29.jpg&width=200)
В геометрии тригонометрические функции острого угла определяются отношениями сторон прямоугольного треугольника[3]. Пусть
(синусом угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе); (косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе); (тангенсом угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему); (котангенсом угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему); (секансом угла называется отношение гипотенузы к прилежащему катету); (косекансом угла называется отношение гипотенузы к противолежащему катету).
Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).
Определение для любых углов
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=TrigonFunctionsDefinition.gif&width=249)
Определение тригонометрических функций
Обычно тригонометрические функции определяются геометрически[4]. В декартовой системе координат на плоскости построим окружность единичного радиуса (
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Trigonometric_function.png&width=300)
Численные значения тригонометрических функций угла
Определим функции следующим образом:
, ; , ; , .
Нетрудно видеть, что такое определение так же основывается на отношениях прямоугольного треугольника, с тем отличием, что учитывается знак (
В тригонометрии удобным оказывается вести счёт углов не в градусной мере, а в радианной. Так, угол в
Наконец, определим тригонометрические функции вещественного числа
Определение как решений дифференциальных уравнений
Синус и косинус можно определить как единственные функции, вторые производные которых равны самим функциям, взятым со знаком минус:
То есть задать их как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения
с дополнительными условиями:
Определение как решений функциональных уравнений
Функции косинус и синус можно определить[5]
как решения (
при дополнительных условиях:
Определение через ряды
Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:
Пользуясь этими формулами, а также равенствами
где
— числа Бернулли, — числа Эйлера.
Значения тригонометрических функций для некоторых углов
Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («
Радианы | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Градусы | ||||||||
Значения тригонометрических функций нестандартных углов
Радианы | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Градусы | |||||||||
Радианы | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Градусы | ||||||||
Свойства тригонометрических функций
Простейшие тождества
Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности (
Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.
Разделив это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, получим:
Из определения тангенса и котангенса следует, что
Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом (с точностью до знака из-за неоднозначности раскрытия квадратного корня). Нижеприведённые формулы верны для
sin | cos | tg | ctg | sec | cosec | |
---|---|---|---|---|---|---|
Непрерывность
- Синус и косинус — непрерывные функции.
- Тангенс и секанс имеют точки разрыва
, где — любое целое. - Котангенс и косеканс имеют точки разрыва
, где — любое целое.
Чётность
Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:
Периодичность
Функции
Формулы приведения
Формулами приведения называются формулы следующего вида:
Здесь
или что то же самое:
Некоторые формулы приведения:
Интересующие формулы приведения так же могут легко быть получены рассмотрением функций на единичной окружности.
Формулы сложения и вычитания
Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:
Аналогичные формулы для суммы трёх углов:
Формулы для кратных углов
Формулы двойного угла:
Формулы тройного угла:
Прочие формулы для кратных углов:
следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.
Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:
где
Формулы половинного угла:
Произведения
Формулы для произведений функций двух углов:
Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:
Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.
Степени
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Sin-cos.gif&width=300)
Суммы
Существует представление:
где угол
Универсальная тригонометрическая подстановка
Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:
Исследование функций в математическом анализе
Разложение в бесконечные произведения
Тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:
Эти соотношения выполняются при любом значении
Непрерывные дроби
Разложение тангенса в непрерывную дробь:
Производные и первообразные
Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:
Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом[6]:
Тригонометрические функции комплексного аргумента
Определение
Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту по аналогии с гиперболическими функциями, или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:
где
Соответственно, для вещественного x:
Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:
Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:
- комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
- все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.
Комплексные графики
На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
История названий
Линия синуса (линия
Современные краткие обозначения
Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).
Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.
Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга), — Ж. Лагранжем и др.
См. также
- Гиперболические функции
- Интегральный синус
- Интегральный косинус
- Интегральный секанс
- Обратные тригонометрические функции
- Редко используемые тригонометрические функции
- Решение треугольников
- Синус-верзус
- Сферическая тригонометрия
- Тригонометрические тождества
- Тригонометрические функции от матрицы
- Тригонометрический ряд Фурье
- Функция Гудермана
- Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
- Эллиптические функции
Литература
- Бермант А. Ф., Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.
- Тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 26. — С. 204—206.
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
- Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
- Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.
- Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.
- Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — И. М. Виноградов. Тригонометрические функции // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . — 1977—1985.
- Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Ред. коллегия, Гнеденко Б. В. (гл. ред.), Савин А. П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299—301—305. — 352 с., ил. — ISBN 5-7155-0218-7 (С. 342, 343 — таблицы тригонометрических функций 0°-90°, в том числе в радианах)
- Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.
Ссылки
- GonioLab — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
- Weisstein, Eric W. Trigonometric Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций (в том числе нахождение углов треугольника по сторонам)
- Интерактивная карта значений тригонометрических функций
- Тригонометрические таблицы (0° — 360°)
- «Синус и косинус — это проценты» — перевод статьи How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained (англ.)
Примечания
- ↑ Справочник: Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с. Архивная копия от 19 января 2015 на Wayback Machine относит их к специальным функциям.
- ↑ Знак математический. // Большая советская энциклопедия. 1-е изд. Т. 27. — М., 1933.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 271—272.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 282—284.
- ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. — М.: Наука, 1998. — ISBN 5-02-015231-5.
- ↑ В формулах, содержащих логарифм в правой части равенств, константы интегрирования
, вообще говоря, различны для различных интервалов непрерывности.