Интегральный синус

График интегрального синуса для 0 ≤ x ≤ 8π.

Интегра́льный си́нус — специальная функция, определяемая интегралом:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Si}\,x =\int\limits_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt. }[/math]

Иногда также пользуются обозначением [math]\displaystyle{ \operatorname{si}\,x: }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{si}\,x = - \int\limits_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt =\operatorname{Si}\,x -\frac{\pi}{2}. }[/math]

Интегральный синус может быть определён через интегральную показательную функцию по аналогии с синусом:

[math]\displaystyle{ \operatorname{si}\,x = \frac{1}{2i} \left( \operatorname{Ei}\,(ix) - \operatorname{Ei}\,(-ix) \right). }[/math]

Интегральный синус был введён Лоренцо Маскерони в 1790 году.

Свойства

• Интегральный синус — нечётная функция:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Si}\,(-x) = -\,\operatorname{Si}\,x. }[/math]

• Интегральный синус имеет асимптоты:

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty} \operatorname{Si}\,x = \frac{\pi}{2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to + \infty} \operatorname{si}\,x = 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty} \operatorname{Si}\,x = - \frac{\pi}{2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{x \to - \infty} \operatorname{si}\,x = -\pi. }[/math]

• Интегральный синус имеет локальные экстремумы в точках [math]\displaystyle{ x = \pm\pi,\,\pm2\pi,\,\pm3\pi,\,\cdots }[/math]

Разложение в ряд

[math]\displaystyle{ \operatorname{Si}\,x = x - \frac {x^3}{3 \cdot 3!} + \frac {x^5}{5 \cdot 5!} - \frac {x^7}{7 \cdot 7!} + \cdots =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)! (2n+1)} x^{2n+1}. }[/math]

Этот ряд применяется для практического вычисления интегрального синуса, причём в соответствии c теоремой Лейбница погрешность будет меньше модуля последнего взятого члена этого ряда.

См. также

• Интегральный косинус
• Интегральный логарифм
• Интегральная показательная функция

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — С. 238.