Аналитическое продолжение

Аналитическое продолжение в комплексном анализе — аналитическая функция, совпадающая с заданной функцией [math]\displaystyle{ f }[/math] в её исходной области C и определённая при этом в области D, содержащей C — продолжение функции [math]\displaystyle{ f }[/math], являющееся аналитическим. Аналитическое продолжение всегда единственно.

Понятие введено Карлом Вейерштрассом в 1842 году, им же развита соответствующая техника построения таких расширений.

Частный случай для голоморфных функций — голоморфное продолжение.

Единственность

Не во всяком случае аналитическое продолжение существует, но оно всегда единственно: любые две аналитические функции, продолженные с одной и той же функции, всегда совпадают. Для голоморфных функций (частный случай аналитических) единственность может быть выведена из следующего факта: если функция f тождественно равна нулю, то любое её продолжение всюду равно нулю. Поскольку голоморфные функции образуют линейное пространство, этого достаточно для единственности голоморфного продолжения.

Способы построения

Элементарные методы

Для самых элементарных функций, таких как степенная функция и экспонента, аналитическое продолжение осуществляется практически напрямую. Это связано с тем, что аналитическое продолжение в таких случаях осуществляется со множества весьма специфического вида, которым является вещественная прямая — это множество не имеет комплексных внутренних точек.

Для более сложных случаев применяются более искусственные приёмы. Например, рассмотрим некоторый сходящийся в круге [math]\displaystyle{ \Delta_a=\{z\colon|z-a|\lt \rho\} }[/math] ряд Тейлора, где [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — радиус сходимости этого ряда. Согласно одному из эквивалентных определений, таким образом получена аналитическая в круге [math]\displaystyle{ \Delta_a }[/math] функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]. Что это значит? Это не значит, что в любой точке за пределами [math]\displaystyle{ \Delta_a }[/math] полученная функция уже не будет аналитической, это в данный момент неизвестно, это просто значит, что существует точка [math]\displaystyle{ z_0\colon|z_0-a|=\rho }[/math] такая, что ряд в этой точке расходится. Однако можно выбрать некоторую точку [math]\displaystyle{ b\in\Delta_a }[/math] — так как в этой точке функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] аналитична, то её можно разложить в ряд, сходящийся в некотором круге [math]\displaystyle{ \Delta_b=\{z\colon|z-b|\lt \theta\} }[/math]. Если для нового радиуса сходимости [math]\displaystyle{ \theta }[/math] выполнено соотношение [math]\displaystyle{ \theta\gt \rho-|a-b| }[/math], то уже будут существовать точки, принадлежащие [math]\displaystyle{ \Delta_b }[/math], но не принадлежащие [math]\displaystyle{ \Delta_a }[/math], а из этого в силу теоремы единственности будет следовать, что функция, определенная изначально только в [math]\displaystyle{ \Delta_a }[/math], продолжена на некоторое большее множество, а именно на [math]\displaystyle{ \Delta_a\cup\Delta_b }[/math]. В случае, если такое невозможно, то окружность [math]\displaystyle{ \partial\Delta_a }[/math] будет естественной границей аналитического продолжения.

Для многих специальных функций аналитическое продолжение осуществляется с помощью некоторого функционального уравнения. Берётся некоторая область, в которой решение этого уравнения заведомо аналитично, и осуществляется перенос результатов на бо́льшую область. В основном таким способом строятся продолжения специальных функций вещественного анализа — например, гамма-функции и дзета-функции Римана.

Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей

Для построения аналитических продолжений в нетривиальных случаях используется понятие аналитического элемента.

Элементы [math]\displaystyle{ P=(G,f) }[/math] и [math]\displaystyle{ Q=(H,g) }[/math] называются аналитическим продолжением друг друга через цепочку областей [math]\displaystyle{ \{\Delta\}_1^n }[/math], если существует последовательность элементов [math]\displaystyle{ P_k=(G_k,f_k),\,k=0,1,\dots,n }[/math] и выполняются следующие три условия:

1. [math]\displaystyle{ P_0=P,\,P_n=Q }[/math];
2. Для произвольных последовательных областей из цепочки их пересечение [math]\displaystyle{ D_k\cap D_{k+1} }[/math] непусто и [math]\displaystyle{ \Delta_k }[/math] — определенная его связная компонента;
3. Элемент [math]\displaystyle{ P_{k+1} }[/math] является аналитическим продолжением [math]\displaystyle{ P_k }[/math] через множество [math]\displaystyle{ \Delta_k }[/math].

Росток можно рассматривать как аналитический элемент, состоящий из круга сходимости и собственно аналитической функции — суммы ряда. Такого вида элементы имеют собственное название — канонические элементы и обзоначаются как [math]\displaystyle{ (K,f) }[/math], где [math]\displaystyle{ K }[/math] — круг сходимости ряда, а [math]\displaystyle{ f }[/math] — его сумма. Центром канонического элемента называется центр круга сходимости определяющего его ряда.

Аналитическое продолжение вдоль пути

Для построения аналитического продолжения вдоль пути в развитие техники «дискретного» построения относительно цепочки областей необходимо осуществить переход, в некотором смысле сходный переходу от последовательности к функции.

Рассматривается канонический элемент [math]\displaystyle{ P_0=(K_0,f_0) }[/math] с центром в точке [math]\displaystyle{ z=z_0 }[/math] и некоторая непрерывная жорданова кривая [math]\displaystyle{ \varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C }[/math] ([math]\displaystyle{ \Gamma=\varphi([0;1]) }[/math]), обладающая свойством [math]\displaystyle{ z_0=\varphi(0) }[/math].

Предположим, что существует семейство канонических элементов [math]\displaystyle{ \{P_t\}_{t\in[0;1]} }[/math] с ненулевыми радиусами сходимости, такое, что [math]\displaystyle{ \varphi(t) }[/math] — центр элемента [math]\displaystyle{ P_t }[/math] и для произвольного [math]\displaystyle{ t_0\in[0;1] }[/math] существует такая окрестность [math]\displaystyle{ {\mathcal U}_{t_0}\subset[0;1] }[/math] (понимаемая в смысле окрестностей на вещественной прямой), удовлетворяющая условию [math]\displaystyle{ \varphi({\mathcal U}_{t_0})\subset K_{t_0} }[/math]; тогда, если для любого [math]\displaystyle{ t\in{\mathcal U}_{t_0} }[/math] элемент [math]\displaystyle{ P_t }[/math] является непосредственным продолжением элемента [math]\displaystyle{ P_{t_0} }[/math], то считается, что элемент [math]\displaystyle{ P_0 }[/math] таким образом аналитически продолжается вдоль пути [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math].

Выбирать семейство областей можно произвольным образом, так как можно доказать, что результат аналитического продолжения не зависит от выбора семейства областей.

Достаточно интересным свойством обладает также функция [math]\displaystyle{ R(t)\colon[0;1]\to(0;+\infty) }[/math] — радиус круга сходимости [math]\displaystyle{ K_{t}. }[/math]. Для семейства, упомянутого в определении продолжения вдоль пути, функция [math]\displaystyle{ R(t) }[/math] будет непрерывна в смысле вещественного анализа на [math]\displaystyle{ [0;1] }[/math].

Допустим, что канонический элемент [math]\displaystyle{ Q }[/math] получен из элемента [math]\displaystyle{ P }[/math] путём аналитического продолжения вдоль некоторого пути [math]\displaystyle{ \varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C }[/math] через промежуточное семейство элементов [math]\displaystyle{ \{P_t\}_{t\in[0;1]} }[/math]. Тогда, если выбрать некоторую возрастающую последовательность [math]\displaystyle{ 0,t_1,t_2,\dots,t_n,1 }[/math] элементов отрезка [math]\displaystyle{ [0;1] }[/math], где круги [math]\displaystyle{ K_k }[/math] и [math]\displaystyle{ K_{k+1} }[/math] будут пересекаться, то элемент [math]\displaystyle{ Q=P_1 }[/math] будет аналитическим продолжением элемента [math]\displaystyle{ P=P_0 }[/math] через цепочку областей [math]\displaystyle{ K_{t_1},K_{t_2},\dots,K_{t_n} }[/math].

Одним из самых интересных результатов будет теорема о гомотопической инвариантности аналитического продолжения и её следствие — теорема о монодромии.

Полная аналитическая функция

Развив аппарат аналитического продолжения вдоль путей, теперь можно перейти от изначальной аналитической функции через аналитические и канонические элементы к более общему понятию — полной аналитической функции. Таким термином будет обозначаться совокупность всех канонических элементов, получаемых из какого-либо первоначального элемента [math]\displaystyle{ P }[/math] методом аналитического продолжения относительно всех возможных жордановых кривых, допускающих такое продолжение и берущих начало в точке [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] — центре элемента [math]\displaystyle{ P }[/math].

Проясняет внутреннее устройство такого весьма абстрактного понятия теорема Пуанкаре — Вольтерры, гласящая, что в каждой точке своей области определения полная аналитическая функция может иметь не более чем счетное множество элементов с центром в этой точке.

Важность понятия полной аналитической функции состоит в том, что оно позволяет с более общей точки зрения изучить понятие особой точки. А именно, особые точки для полной аналитической функции — просто точки границы области её определения. В зависимости от поведения функции в окрестности этих точек определяется их характер.

Рассмотрим некоторую особую точку [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] для полной аналитической функции [math]\displaystyle{ \mathbf f }[/math] и некоторую её проколотую окрестность [math]\displaystyle{ \dot{\mathcal U}_{z_0} }[/math], принадлежащую области определения [math]\displaystyle{ \mathbf f }[/math]. Выберем какую-нибудь замкнутую жорданову кривую [math]\displaystyle{ \Gamma \subset \dot{\mathcal U}_{z_0} }[/math]. Если аналитическое продолжение вдоль кривой [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] приводит к тому же элементу, то точка называется особой точкой однозначного характера и интерпретируется как просто изолированная особая точка; если же результатом аналитического продолжения будет уже другой элемент, то точка называется особой точкой многозначного характера, или точкой ветвления.

Теорема Адамара

Основная статья: Теорема Адамара о лакунах

Для степенного ряда

[math]\displaystyle{ f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k }[/math],

у которого почти все коэффициенты равны нулю в том смысле, что последовательность номеров ненулевых коэффициентов [math]\displaystyle{ k(i) }[/math] удовлетворяет

[math]\displaystyle{ \lim_{i\to\infty} \frac{k(i+1)}{k(i)} \gt 1 + \delta \, }[/math]

для некоторого фиксированного δ > 0, круг с центром z₀ и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

Обобщения и связанные понятия

Аналитическое продолжение может рассматриваться на областях не только в комплексной плоскости, но и в римановых поверхностях, и, более общо, на комплексных многообразиях: D должно быть комплексным многообразием, а C — его подмножеством. Если C — область в D и для любой области C′: C ⊂ C′ ⊂ D' найдётся функция, голоморфная на C, но не продолжаемая на C′, то C называется областью голоморфности. В комплексно-одномерном случае всякая область является областью голоморфности, в многомерном случае это не так.

Можно рассматривать и аналитическое продолжение со множеств C, не являющимися областями, например, с действительной прямой. В таком случае функция f изначально определена на некотором (зависящем от функции) открытом множестве, содержащем C.

См. также

• Принцип непрерывности
• Принцип симметрии Шварца
• Теорема Боголюбова «об острие клина»

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.