Интеграл Зиверта

Интеграл Зиверта (интегральный секанс) — специальная функция, возникающая в задачах о распространении излучения от протяжённого источника. Назван по имени шведского физика Рольфа Зиверта, который ввёл его в 1921 году. Она представляет собой неберущийся интеграл:

[math]\displaystyle{ F(\theta,x)=\int_0^\theta {e^{-x\cdot\sec\varphi}}\,d{\varphi} }[/math]

Полный интеграл Зиверта связан с интегралом функций Бесселя [math]\displaystyle{ \operatorname{Ki} }[/math]:

[math]\displaystyle{ F\left(\frac{\pi}{2},x\right)=\operatorname{Ki}_1(x)=\int_x^\infty K_0(t)\,dt }[/math]

где [math]\displaystyle{ K_0(x) }[/math] — функция Макдональда.

Существует два обобщения интеграла Зиверта:

[math]\displaystyle{ F_a(\theta,x)=x^a\int_0^\theta {e^{-x\cdot\sec\varphi}}\cdot\sec^a{\varphi}\,d{\varphi} }[/math]

[math]\displaystyle{ F_a(\theta,x,y)=x^a\int_0^\theta {e^{-x\cdot\sec\varphi}}\cdot(\sec\varphi)^a\cdot(\operatorname{tg}\varphi)^{2y-1}\,d{\varphi} }[/math]

где [math]\displaystyle{ a\geqslant 0, x\gt 0, 0\lt \theta\leqslant \frac{\pi}{2} }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Sievert Integral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.