Перейти к содержанию

Тригонометрические константы

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Синусы и косинусы основных углов на тригонометрической окружности.

В данной статье приведены точные алгебраические выражения для некоторых тригонометрических чисел. Такие выражения могут потребоваться, например, для приведения результатов выражений с тригонометрическими функциями в радикальную форму, что даёт возможность для дальнейшего упрощения.

Любое тригонометрическое число алгебраично. Некоторые тригонометрические числа могут быть выражены в комплексных радикалах, однако не всегда в действительных: в частности, среди значений тригонометрических функций в углах, выражающихся целым числом градусов, в действительных радикалах могут быть выражены только значения в тех из них, количество градусов в которых кратно трём. Но по теореме Абеля бывают и те, которые неразрешимы в радикалах.

По теореме Нивена[англ.] у синуса с рациональным в градусах аргументом значение либо иррационально, либо равно одному из чисел среди [math]\displaystyle{ 0 }[/math], [math]\displaystyle{ \frac{1}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ 1 }[/math], [math]\displaystyle{ -\frac{1}{2} }[/math], [math]\displaystyle{ -1 }[/math].

По теореме Бейкера[англ.] если синус, косинус или тангенс в данной точке дают алгебраическое число, то их аргумент в градусах либо рационален, либо трансцендентен. Иначе говоря, если аргумент в градусах алгебраичен и иррационален, то значения всех тригонометрических функций от этого аргумента будут трансцендентны.

Критерии включения

Значения для тригонометрических функций от аргумента, соизмеримого с [math]\displaystyle{ \pi }[/math], выразимы в действительных радикалах, только если знаменатель сокращённой рациональной дроби, полученной делением его на [math]\displaystyle{ \pi }[/math], является степенью двойки, умноженной на произведение нескольких простых чисел Ферма (см. теорема Гаусса — Ванцеля). Данная страница посвящена преимущественно углам, выражающимся в действительных радикалах.

При помощи формулы половинного угла можно получать алгебраические выражения для значений тригонометрических функций в любом угле, для которого они уже найдены, делённом пополам. В частности, для углов, лежащих на промежутке от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }[/math], верны формулы

[math]\displaystyle{ \sin{\alpha\over 2}=\sqrt{1-\cos\alpha \over 2} }[/math], [math]\displaystyle{ \cos{\alpha \over 2}=\sqrt{1+\cos\alpha\over 2} }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{tg}{\alpha \over 2}=\sqrt{1-\cos\alpha \over 1+\cos\alpha} }[/math].

Выражения ниже позволяют также получать выражения в комплексных радикалах значений тригонометрических функций в тех углах, в которых они не выражаются в действительных. К примеру, при наличии формулы для угла [math]\displaystyle{ \theta }[/math] формула для [math]\displaystyle{ \theta }[/math]3 может быть получена путём решения следующего уравнения третьей степени:

[math]\displaystyle{ 4\cos^3 \frac \theta 3 - 3\cos \frac \theta 3 = \cos\theta, }[/math]

Однако в его решении в общем виде могут возникнуть комплексные невещественные числа (этот случай называется casus irreducibilis).

Таблица некоторых часто встречающихся углов

Встречаются различные единицы измерения углов, например, градусы, радианы, обороты, грады (гоны).

[math]\displaystyle{ 1\,\text{полный оборот} = 360^\circ = 2\pi (\mathrm{rad}) = 400 (\mathrm{gon}). }[/math]

Эта таблица показывает переводы из одних мер в другие и значения тригонометрических функций от наиболее часто встречающихся углов:

Обороты Градусы Радианы Грады (гоны) Синус Косинус Тангенс
0 0° 0 0 0 1 0
112 30° [math]\displaystyle{ \pi }[/math]6 331 12 √32 √33
18 45° [math]\displaystyle{ \pi }[/math]4 50 √22 √22 1
16 60° [math]\displaystyle{ \pi }[/math]3 662 √32 12 √3
14 90° [math]\displaystyle{ \pi }[/math]2 100 1 0
13 120° 2[math]\displaystyle{ \pi }[/math]3 1331 √32 −12 −√3
38 135° 3[math]\displaystyle{ \pi }[/math]4 150 √22 −√22 −1
512 150° 5[math]\displaystyle{ \pi }[/math]6 1662 12 −√32 −√33
12 180° [math]\displaystyle{ \pi }[/math] 200 0 −1 0
712 210° 7[math]\displaystyle{ \pi }[/math]6 2331 −12 −√32 √33
58 225° 5[math]\displaystyle{ \pi }[/math]4 250 −√22 −√22 1
23 240° 4[math]\displaystyle{ \pi }[/math]3 2662 −√32 −12 √3
34 270° 3[math]\displaystyle{ \pi }[/math]2 300 −1 0
56 300° 5[math]\displaystyle{ \pi }[/math]3 3331 −√32 12 −√3
78 315° 7[math]\displaystyle{ \pi }[/math]4 350 −√22 √22 −1
1112 330° 11[math]\displaystyle{ \pi }[/math]6 3662 −12 √32 −√33
1 360° 2[math]\displaystyle{ \pi }[/math] 400 0 1 0

Дальнейшие углы

Exact trigonometric table for multiples of 3 degrees.

Значения тригонометрических функций в углах, не находящихся в промежутке от [math]\displaystyle{ 0^\circ }[/math] до [math]\displaystyle{ 45^\circ }[/math], элементарно выводятся из значений в углах этого промежутка при помощи формул приведения. Все углы записаны в градусах и радианах, при этом число, обратное множителю, стоящему перед [math]\displaystyle{ \pi }[/math] в выражении для данного угла, является единственным числом символа Шлефли правильного (возможно, звёздчатого) многоугольника с внешним углом, равным данному.

0° = 0 (rad)

[math]\displaystyle{ \sin 0=0\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos 0=1\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} 0=0\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg} 0=\infty\, }[/math]

1,5°=(1/120)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{120}\right) = \sin\left(1.5^\circ\right) = \frac{\left(\sqrt{2+\sqrt2}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{10-2\sqrt5}\right) - \left(\sqrt{2-\sqrt2}\right)\left(\sqrt{30-6\sqrt5}+\sqrt5+1\right)}{16} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{120}\right) = \cos\left(1.5^\circ\right) = \frac{\left(\sqrt{2+\sqrt2}\right)\left(\sqrt{30-6\sqrt5}+\sqrt5+1\right) + \left(\sqrt{2-\sqrt2}\right)\left(\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{10-2\sqrt5}\right)}{16} }[/math]

1,875°=(1/96)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{96}\right) = \sin\left(1.875^\circ\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{96}\right) = \cos\left(1.875^\circ\right) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}} }[/math]

2,25°=(1/80)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{80}\right) = \sin\left(2.25^\circ\right) =\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{80}\right) = \cos\left(2.25^\circ\right) =\frac{1}{2} \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}} }[/math]

2,8125°=(1/64)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{64}\right) = \sin\left(2.8125^\circ\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{64}\right) = \cos\left(2.8125^\circ\right) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}} }[/math]

3°=(1/60)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{60}\right) = \sin\left(3^\circ\right) = \frac{2\left(1-\sqrt3\right)\sqrt{5+\sqrt5}+\left(\sqrt{10}-\sqrt2\right)\left(\sqrt3+1\right)}{16}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{60}\right) = \cos\left(3^\circ\right) = \frac{2\left(1+\sqrt3\right)\sqrt{5+\sqrt5}+\left(\sqrt{10}-\sqrt2\right)\left(\sqrt3-1\right)}{16}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{60}\right) = \operatorname{tg}\left(3^\circ\right) = \frac{\left[\left(2-\sqrt3\right)\left(3+\sqrt5\right)-2\right]\left[2-\sqrt{10-2\sqrt5}\right]}{4}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{60}\right) = \operatorname{ctg}\left(3^\circ\right) = \frac{\left[\left(2+\sqrt3\right)\left(3+\sqrt5\right)-2\right]\left[2+\sqrt{10-2\sqrt5}\right]}{4}\, }[/math]

3,75°=(1/48)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{48}\right) = \sin\left(3.75^\circ\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{48}\right) = \cos\left(3.75^\circ\right) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} }[/math]

4,5°=(1/40)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{40}\right) = \sin\left(4.5^\circ\right) =\frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{40}\right) = \cos\left(4.5^\circ\right) =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}} }[/math]

5,625°=(1/32)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{32}\right) = \sin\left(5.625^\circ\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{32}\right) = \cos\left(5.625^\circ\right) = \frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} }[/math]

6°=(1/30)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{30}=\sin 6^\circ=\frac{\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt5-1}{8}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{30}=\cos 6^\circ=\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3+\sqrt{15}}{8}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{30}=\operatorname{tg} 6^\circ=\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt3-\sqrt{15}}{2}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{30}=\operatorname{ctg} 6^\circ=\frac{\sqrt{27}+\sqrt{15}+\sqrt{50+\sqrt{2420}}}{2}\, }[/math]

7,5°=(1/24)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{24}\right)=\sin\left(7.5^\circ\right)=\frac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}} = \frac14\sqrt{8-2\sqrt6-2\sqrt2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\left(\frac{\pi}{24}\right)=\cos\left(7.5^\circ\right)=\frac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}} = \frac14\sqrt{8+2\sqrt6+2\sqrt2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{24}\right)=\operatorname{tg}\left(7.5^\circ\right)=\sqrt6-\sqrt3+\sqrt2-2\ = \left(\sqrt2-1\right)\left(\sqrt3-\sqrt2\right) }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{24}\right)=\operatorname{ctg}\left(7.5^\circ\right)=\sqrt6+\sqrt3+\sqrt2+2\ = \left(\sqrt2+1\right)\left(\sqrt3+\sqrt2\right) }[/math]

9°=(1/20)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{20}=\sin 9^\circ=\frac12 \sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{20}=\cos 9^\circ=\frac12 \sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{20}=\operatorname{tg} 9^\circ=\sqrt5+1-\sqrt{5+2\sqrt5}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{20}=\operatorname{ctg} 9^\circ=\sqrt5+1+\sqrt{5+2\sqrt5}\, }[/math]

11,25°=(1/16)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{16}=\sin 11.25^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{16}=\cos 11.25^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{16}=\operatorname{tg} 11.25^\circ=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1 }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{16}=\operatorname{ctg} 11.25^\circ=\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1 }[/math]

12°=(1/15)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{15}=\sin 12^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt3-\sqrt{15}\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{15}=\cos 12^\circ=\tfrac{1}{8} \left[\sqrt{6\left(5+\sqrt5\right)}+\sqrt5-1\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{15}=\operatorname{tg} 12^\circ=\tfrac{1}{2} \left[3\sqrt3-\sqrt{15}-\sqrt{2\left(25-11\sqrt5\right)}\,\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{15}=\operatorname{ctg} 12^\circ=\tfrac{1}{2} \left[\sqrt{15}+\sqrt3+\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\right]\, }[/math]

15°=(1/12)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{12}=\sin 15^\circ=\frac{1}{4}\left(\sqrt6-\sqrt2\right) = \frac12\sqrt{2-\sqrt3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{12}=\cos 15^\circ=\frac{1}{4}\left(\sqrt6+\sqrt2\right)= \frac12\sqrt{2+\sqrt3} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{12}=\operatorname{tg} 15^\circ=2-\sqrt3\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{12}=\operatorname{ctg} 15^\circ=2+\sqrt3\, }[/math]

18°=(1/10)π (rad)[1]

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{10}=\sin 18^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt5-1\right)\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{10}=\cos 18^\circ=\tfrac{1}{4}\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{10}=\operatorname{tg} 18^\circ=\tfrac{1}{5}\sqrt{5\left(5-2\sqrt5\right)}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{10}=\operatorname{ctg} 18^\circ=\sqrt{5+2\sqrt 5}\, }[/math]

21°=(7/60)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{7\pi}{60}=\sin 21^\circ=\frac{1}{16}\left(2\left(\sqrt3+1\right)\sqrt{5-\sqrt5}-\left(\sqrt6-\sqrt2\right)\left(1+\sqrt5\right)\right)\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{7\pi}{60}=\cos 21^\circ=\frac{1}{16}\left(2\left(\sqrt3-1\right)\sqrt{5-\sqrt5}+\left(\sqrt6+\sqrt2\right)\left(1+\sqrt5\right)\right)\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{7\pi}{60}=\operatorname{tg} 21^\circ=\frac{1}{4}\left(2-\left(2+\sqrt3\right)\left(3-\sqrt5\right)\right)\left(2-\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\right)\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{60}=\operatorname{ctg} 21^\circ=\frac{1}{4}\left(2-\left(2-\sqrt3\right)\left(3-\sqrt5\right)\right)\left(2+\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\right)\, }[/math]

22,5°=(1/8)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{8}=\sin 22.5^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{8}=\cos 22.5^\circ=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{8}=\operatorname{tg} 22.5^\circ=\sqrt{2}-1\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{8}=\operatorname{ctg} 22.5^\circ=\sqrt{2}+1=\delta_S\, }[/math], серебряное сечение

24°=(2/15)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{2\pi}{15}=\sin 24^\circ=\tfrac{1}{8}\left[\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{15}=\cos 24^\circ=\tfrac{1}{8}\left(\sqrt{6\left(5-\sqrt5\right)}+\sqrt5+1\right)\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{2\pi}{15}=\operatorname{tg} 24^\circ=\tfrac{1}{2}\left[\sqrt{50+22\sqrt5}-3\sqrt3-\sqrt{15}\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{2\pi}{15}=\operatorname{ctg} 24^\circ=\tfrac{1}{2}\left[\sqrt{15}-\sqrt3+\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}\right]\, }[/math]

27°=(3/20)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{3\pi}{20}=\sin 27^\circ=\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}-\sqrt2\;\left(\sqrt5-1\right)\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{3\pi}{20}=\cos 27^\circ=\tfrac{1}{8}\left[2\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2\;\left(\sqrt5-1\right)\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{3\pi}{20}=\operatorname{tg} 27^\circ=\sqrt5-1-\sqrt{5-2\sqrt5}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{20}=\operatorname{ctg} 27^\circ=\sqrt5-1+\sqrt{5-2\sqrt5}\, }[/math]

30°=(1/6)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{6}=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{6}=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\operatorname{tg} 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}=\operatorname{ctg} 30^\circ=\sqrt3\, }[/math]

33°=(11/60)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{11\pi}{60}=\sin 33^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2\left(\sqrt3-1\right)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2\left(1+\sqrt3\right)\left(\sqrt5-1\right)\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{11\pi}{60}=\cos 33^\circ=\tfrac{1}{16}\left[2\left(\sqrt3+1\right)\sqrt{5+\sqrt5}+\sqrt2\left(1-\sqrt3\right)\left(\sqrt5-1\right)\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{11\pi}{60}=\operatorname{tg} 33^\circ=\tfrac{1}{4}\left[2-\left(2-\sqrt3\right)\left(3+\sqrt5\right)\right]\left[2+\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}\,\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{11\pi}{60}=\operatorname{ctg} 33^\circ=\tfrac{1}{4}\left[2-\left(2+\sqrt3\right)\left(3+\sqrt5\right)\right]\left[2-\sqrt{2\left(5-\sqrt5\right)}\,\right]\, }[/math]

36°=(1/5)π (rad)

[1]
[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{5}=\sin 36^\circ=\frac14\sqrt{10-2\sqrt{5}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5}=\cos 36^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4}=\frac{\varphi}{2}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — золотое сечение;
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{5}=\operatorname{tg} 36^\circ=\sqrt{5-2\sqrt{5}}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{5}=\operatorname{ctg} 36^\circ=\frac15\sqrt{25+10\sqrt{5}} }[/math]

39°=(13/60)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{13\pi}{60}=\sin 39^\circ=\tfrac1{16}\left[2\left(1-\sqrt3\right)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2\left(\sqrt3+1\right)\left(\sqrt5+1\right)\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{13\pi}{60}=\cos 39^\circ=\tfrac1{16}\left[2\left(1+\sqrt3\right)\sqrt{5-\sqrt5}+\sqrt2\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt5+1\right)\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{13\pi}{60}=\operatorname{tg} 39^\circ=\tfrac14\left[\left(2-\sqrt3\right)\left(3-\sqrt5\right)-2\right]\left[2-\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\right]\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{13\pi}{60}=\operatorname{ctg} 39^\circ=\tfrac14\left[\left(2+\sqrt3\right)\left(3-\sqrt5\right)-2\right]\left[2+\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\,\right]\, }[/math]

42°=(7/30)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{7\pi}{30}=\sin 42^\circ=\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-\sqrt5+1}{8}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{7\pi}{30}=\cos 42^\circ=\frac{\sqrt{15}-\sqrt3+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{7\pi}{30}=\operatorname{tg} 42^\circ=\frac{\sqrt{15}+\sqrt3-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{2}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{7\pi}{30}=\operatorname{ctg} 42^\circ=\frac{\sqrt{50-22\sqrt{5}}+3\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2}\, }[/math]

45°=(1/4)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{4}=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}=\frac{1}{\sqrt2}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4}=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}=\frac{1}{\sqrt2}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=\operatorname{tg} 45^\circ=1\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}=\operatorname{ctg} 45^\circ=1\, }[/math]

54°=(3/10)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{3\pi}{10}=\sin 54^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4}\,\! }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{3\pi}{10}=\cos 54^\circ=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{3\pi}{10}=\operatorname{tg} 54^\circ=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{10}=\operatorname{ctg} 54^\circ=\sqrt{5-\sqrt{20}}\, }[/math]

60°=(1/3)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3}=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3}=\cos 60^\circ=\frac{1}{2}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}=\operatorname{tg} 60^\circ=\sqrt3\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{3}=\operatorname{ctg} 60^\circ=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{1}{\sqrt3}\, }[/math]

67,5°=(3/8)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{3\pi}{8}=\sin 67.5^\circ=\tfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{3\pi}{8}=\cos 67.5^\circ=\tfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8}=\operatorname{tg} 67.5^\circ=\sqrt{2}+1\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{8}=\operatorname{ctg} 67.5^\circ=\sqrt{2}-1\, }[/math]

72°=(2/5)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{2\pi}{5}=\sin 72^\circ=\tfrac{1}{4}\sqrt{2\left(5+\sqrt5\right)}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{5}=\cos 72^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt5-1\right)=\frac{\varphi}{2}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — золотое сечение;
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{2\pi}{5}=\operatorname{tg} 72^\circ=\sqrt{5+2\sqrt 5}\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{2\pi}{5}=\operatorname{ctg} 72^\circ=\tfrac{1}{5}\sqrt{5\left(5-2\sqrt5\right)}\, }[/math]

75°=(5/12)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin\frac{5\pi}{12}=\sin 75^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt6+\sqrt2\right)\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{5\pi}{12}=\cos 75^\circ=\tfrac{1}{4}\left(\sqrt6-\sqrt2\right)\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{12}=\operatorname{tg} 75^\circ=2+\sqrt3\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg}\frac{5\pi}{12}=\operatorname{ctg} 75^\circ=2-\sqrt3\, }[/math]

90°=(1/2)π (rad)

[math]\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{2}=\sin 90^\circ=1\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos \frac{\pi}{2}=\cos 90^\circ=0\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} \frac{\pi}{2}=\operatorname{tg} 90^\circ=\infty\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ctg} \frac{\pi}{2}=\operatorname{ctg} 90^\circ=0\, }[/math]

Список значений тригонометрических функций от аргумента, равного 2π/n

Приведены только формулы, не использующие корней степени больше [math]\displaystyle{ 5 }[/math]. Так как (по теореме Муавра) в множестве комплексных чисел извлечение корня целой степени n приводит к n различным значениям, то для корней 3-й и 5-й степеней от невещественных чисел, появляющихся в этом разделе ниже, следует брать главное значение, равное корню с наибольшей действительной частью: она всегда положительна. Следовательно, суммы корней 3-й или 5-й степени от комплексно сопряжённых чисел, появляющиеся в таблице, тоже положительны. Тангенс приведён в тех случаях, когда его можно записать сильно проще, чем отношение записей синуса и косинуса.

В некоторых случаях ниже используются два числа [math]\displaystyle{ \omega_3=\tfrac{-1+i\sqrt3}2,\omega_5=\tfrac14(-1+\sqrt5+i\sqrt{10+2\sqrt5}) }[/math], обладающие таким свойством, что [math]\displaystyle{ \omega_3^3=\omega_5^5=1 }[/math]. [math]\displaystyle{ \begin{array}{r|l|l|l} n & \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) & \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) & \operatorname{tg}\left(\frac{2\pi}{n}\right) \\ \hline 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 2 & 0 & -1 & 0 \\ \hline 3 & \frac{1}{2}\sqrt{3} & -\frac{1}{2} & -\sqrt{3} \\ \hline 4 & 1 & 0 & \pm\infty \\ \hline 5 & \frac{1}{4}\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) & \sqrt{5+2\sqrt{5}} \\ \hline 6 & \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} & \sqrt{3} \\ \hline 7 & \frac16\sqrt{3\left(7-\overline{\omega_3}\sqrt[3]\frac{7+21i\sqrt3}2-\omega_3\sqrt[3]\frac{7-21i\sqrt3}2\right)} & \frac{1}{6}\left(-1+\sqrt[3]{\frac{7+21i\sqrt{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21i\sqrt{3}}{2}}\right) & \\ \hline 8 & \frac{1}{2}\sqrt{2} & \frac{1}{2}\sqrt{2} & 1 \\ \hline 9 & \frac{i}{2}\left(\sqrt[3]\overline{\omega_3}-\sqrt[3]{\omega_3}\right) & \frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{\omega_3}+\sqrt[3]\overline{\omega_3}\right) & \\ \hline 10 & \frac{1}{4}\left(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}+1\right) & \sqrt{5-2\sqrt{5}} \\ \hline 11 & & & \\ \hline 12 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{3}\sqrt{3} \\ \hline 13 & \frac1{12}\sqrt{6\left(13-\sqrt{13}-\sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}-3i\sqrt{39})} - \sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}+3i\sqrt{39})}\right)} & \frac1{12}\left(-1+\sqrt{13}+\sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}-3i\sqrt{39})} + \sqrt[3]{4(26-5\sqrt{13}+3i\sqrt{39})}\right) & \\ \hline 14 & \frac16\sqrt{3\left(7-\sqrt[3]\frac{7+21i\sqrt3}2-\sqrt[3]\frac{7-21i\sqrt3}2\right)} & \frac{1}{6}\left(1-\omega_3\sqrt[3]\frac{7+21i\sqrt3}2-\overline{\omega_3}\sqrt[3]\frac{7-21i\sqrt3}2\right) & \\ \hline 15 & \frac{1}{8}\left(\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{8}\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{2}\left(-3\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{50+22\sqrt{5}}\right) \\ \hline 16 & \frac{1}{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right) & \frac{1}{2}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right) & \sqrt{2}-1 \\ \hline 17 & & \frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}\right) & \\ \hline 18 & \frac {i}{2} \left (\sqrt[3]{-\omega_3}-\sqrt[3]{-\overline{\omega_3}}\right) & \frac {1}{2} \left (\sqrt[3]{-\omega_3}+\sqrt[3]{-\overline{\omega_3}}\right) & \\ \hline 19 & & & \\ \hline 20 & \frac{1}{4}\left(\sqrt{5}-1\right) & \frac{1}{4}\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right) & \frac{1}{5}\left(\sqrt{25-10\sqrt{5}}\right) \\ \hline 21 & & & \\ \hline 22 & & & \\ \hline 23 & & & \\ \hline 24 & \frac{1}{4}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right) & \frac{1}{4}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right) & 2-\sqrt{3} \\ \hline 25 & \frac i2(\sqrt[5]{\overline{\omega_5}}-\sqrt[5]{\omega_5}) & \frac12(\sqrt[5]{\omega_5}+\sqrt[5]{\overline{\omega_5}}) & \end{array} }[/math]

Доказательство

Одно из общих и наглядных методов вывести формулы для [math]\displaystyle{ x=\cos\tfrac{2\pi o}n+i\sin\tfrac{2\pi o}n }[/math] (n и o — целые числа) — это решить уравнение xn = 1, то есть найти комплексные корни из 1. При этом сами косинус и синус равны [math]\displaystyle{ \tfrac{x+1/x}2 }[/math] и [math]\displaystyle{ \tfrac{x-1/x}{2i} }[/math] соответственно. Данный метод обосновывается теоремой Муавра:

если [math]\displaystyle{ r\gt 0 }[/math] — модуль, а [math]\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R} }[/math] — аргумент комплексного числа, то все корни целой степени [math]\displaystyle{ n\neq0 }[/math] от [math]\displaystyle{ r(\cos\alpha+i\sin\alpha) }[/math] выражаются числами [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{r}[\cos(\tfrac{\alpha}n+\tfrac{2\pi o}n)+i\sin(\tfrac{\alpha}n+\tfrac{2\pi o}n)], }[/math] где [math]\displaystyle{ o }[/math] пробегает множество целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}. }[/math]

В свою очередь, эта теорема доказывается утверждением, что при умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы — складываются (последнее равносильно тригонометрическим тождествам для суммы):

[math]\displaystyle{ [r(\cos\alpha+i\sin\alpha)]\cdot[s(\cos\beta+i\sin\beta)]=(rs)\cdot[\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)]. }[/math]

Среди корней натуральной степени n из 1 есть те, которые не являются корнями никакой другой натуральной степени m < n из 1, — они называются первообразными, или примитивными, корнями n-й степени из 1. А многочлен, в качестве своих корней содержащий только примитивные радикалы из 1, причём с единичной кратностью, называется круговым. Для корней n-й степени из 1 степень кругового многочлена равна φ(n), где φ — функция Эйлера, и обязательно чётна при n ≥ 3, поскольку при n ≥ 3 все первообразные корни (среди которых уже нет ±1) невещественны и образуют комплексно сопряжённые пары.

При n ≥ 2 круговой полином является симметричным, то есть все его коэффициенты отражаются относительно степени φ(n)/2. Если n ≥ 3, то, чтобы решить уравнение с круговым многочленом sφ(n)(x) = 0 чётной степени φ(n), симметричный полином sφ(n)(x) надо разделить на xφ(n)/2, а затем сгруппировать по степеням числа x + 1/x (это возможно из-за симметричности), которое, как совпадение, и оказывается искомым косинусом, умноженным на 2.

Пример 1: n = 3

Способ 1 — решение уравнения 2-й степени по общему методу

Полином [math]\displaystyle{ x^3-1 }[/math] раскладывается на круговые множители [math]\displaystyle{ x-1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x^2+x+1, }[/math] у первого из каких корень равен 1, а второй является полиномом 2-й степени. И в общем случае, чтобы решить квадратное уравнение, надо поделить многочлен на старший коэффициент (здесь он равен 1), а затем выделить точный квадрат так, чтобы избавиться от слагаемого-одночлена той степени, которая меньше степени полинома на 1, — то есть привести многочленное уравнение к каноническому виду:

[math]\displaystyle{ x^2+x=-1, }[/math]

[math]\displaystyle{ (x+\tfrac12)^2=-\tfrac34, }[/math]

[math]\displaystyle{ (x+\tfrac12)^2+\tfrac34=0 }[/math] (канонический вид).

В итоге в совокупности с уравнением [math]\displaystyle{ x-1=0 }[/math] получается, что

[math]\displaystyle{ x=1 }[/math] или [math]\displaystyle{ x=\frac{-1\pm\sqrt3i}2. }[/math]

Способ 2 — сведение уравнения к уравнению 1-й степени

Вместо того, чтобы решать уравнение [math]\displaystyle{ x^2+x+1=0 }[/math] как квадратное, симметричный многочлен [math]\displaystyle{ x^2+x+1 }[/math] можно поделить на x, сгруппировать относительно x + 1/x, учитывая, что x + 1/x — это искомый косинус, умноженный на 2:

[math]\displaystyle{ (x+\tfrac1x)+1=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ x+\tfrac1x=-1, }[/math]

[math]\displaystyle{ x=\frac{-1\pm\sqrt3i}2. }[/math]

Пример 2: n = 5

Круговой полином равен [math]\displaystyle{ x^4+x^3+x^2+x+1, }[/math] и, чтобы найти его корни, его нужно поделить на x2, сгруппировать по степеням x + 1/x (сведя к квадратному полиному) и приравнять 0:

[math]\displaystyle{ x^2+x+1+x^{-1}+x^{-2}=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ (x+\tfrac1x)^2+(x+\tfrac1x)-1=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ x+\tfrac1x=\tfrac{-1\pm\sqrt5}2 }[/math] (искомый косинус, умноженный на 2),

[math]\displaystyle{ x=\frac{-1\pm_1\sqrt5}4\pm_2\frac i4\sqrt{10\pm_12\sqrt5}. }[/math]

Пример 3: n = 7

Условные обозначения. Обозначим [math]\displaystyle{ \cos\tfrac{2\pi}n+i\sin\tfrac{2\pi}n }[/math] как [math]\displaystyle{ \omega_n. }[/math]

Шаг 1 — приведение уравнения к канонической форме

Проведя с круговым многочленом [math]\displaystyle{ x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 }[/math] преобразования, аналогичные каким представлены для n = 5, получаем уравнение 3-й степени [math]\displaystyle{ (x+\tfrac1x)^3+(x+\tfrac1x)^2-2(x+\tfrac1x)-1=0. }[/math] Далее, как и в случае с квадратным уравнением, это уравнение нужно привести к каноническому виду, то есть поделить обе части уравнения на старший коэффициент (единицу) и затем выделить точный куб, избавившись от слагаемого той степени, которая меньше степени многочлена на 1:

[math]\displaystyle{ (x+\tfrac1x)^3+(x+\tfrac1x)^2=2(x+\tfrac1x)+1, }[/math]

[math]\displaystyle{ [(x+\tfrac1x)+\tfrac13]^3=\tfrac73[(x+\tfrac1x)+\tfrac13]+\tfrac7{27}, }[/math]

[math]\displaystyle{ (x+\tfrac13+\tfrac1x)^3-\tfrac73(x+\tfrac13+\tfrac1x)-\tfrac7{27} =0 }[/math] (каноническая форма).

Шаг 2 — метод дель Ферро

Метод решения канонических кубических уравнений вошёл в историю под именем Джероламо Кардано, но впервые был открыт Сципионом дель Ферро. Он заключается в следующем: заменим искомую переменную ([math]\displaystyle{ x+\tfrac13+x^{-1} }[/math]) на сумму [math]\displaystyle{ v+w }[/math]:

[math]\displaystyle{ (v^3+3v^2w+3vw^2+w^3)-\tfrac73(v+w)-\tfrac7{27} =0, }[/math]

а затем зададим между v и w такую зависимость, чтобы уравнение можно было свести к менее чем 3-й степени. Тогда оказывается, что в числе [math]\displaystyle{ 3v^2w+3vw^2-\tfrac73(v+w)=(3vw-\tfrac73)(v+w) }[/math] множитель [math]\displaystyle{ 3vw-\tfrac73 }[/math] надо приравнять нулю. В таком случае [math]\displaystyle{ w=\tfrac7{9v} }[/math] и [math]\displaystyle{ \tfrac12(x+x^{-1})=\tfrac12(\tfrac{-1}3+v+w)=\tfrac12(\tfrac{-1}3+v+\tfrac7{9v}) }[/math] (сам косинус), а само кубическое уравнение сокращается до квадратного:

[math]\displaystyle{ v^3-\tfrac7{3^3}+\tfrac{7^3}{3^6}v^{-3}=0, }[/math]

[math]\displaystyle{ v^3=\tfrac7{2\cdot3^3}\pm i\sqrt{\tfrac{7^3}{3^6}-\tfrac{7^2}{2^23^6}}=\tfrac{7\pm7i\sqrt{2^27-1}}{2\cdot3^3}=\tfrac{7\pm21i\sqrt3}{2\cdot3^3}, }[/math]

а с учётом главных значений кубических корней получается:

[math]\displaystyle{ v=\tfrac{\omega_3^m}3\sqrt[3]\tfrac{7\pm21i\sqrt3}2,\tfrac7{9v}=\tfrac{\omega_3^{-m}}3\sqrt[3]\tfrac{7\mp21i\sqrt3}2, }[/math] где [math]\displaystyle{ m\in\mathbb{Z}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos\frac{2\pi o}7=\frac16\left(-1+ \omega_3^{-m} \sqrt[3]\frac{7+21i\sqrt3}2+ \omega_3^m \sqrt[3]\frac{7-21i\sqrt3}2\right), }[/math]

где o = 1 (o = 6) соответствует m = 0, o = 2 (o = 5) — m = 1, а o = 3 (o = 4) — m = 2.

Шаг 3 — синус[2]

Синус лучше всего искать не по основному тригонометрическому тождеству, а по формуле половинного угла [math]\displaystyle{ \sin\tfrac{2\pi o}7=\pm\sqrt{\tfrac12-\tfrac12\cos\tfrac{4\pi o}7}, }[/math] иначе появятся квадраты чисел [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{\tfrac12(7\pm21i\sqrt3)}, }[/math] и упрощение станет неочевидное. В итоге все примитивные корни 7-й степени из 1 равны

[math]\displaystyle{ \frac16\left[-1+ w +\overline {w} \pm i\sqrt{3\left(7- \overline {\omega_{3} } w- \omega_{3} \overline {w} \right)}\right], }[/math]

где [math]\displaystyle{ 2w^3=7+21i\sqrt3. }[/math]

Пример 4: n = 32 = 9

Условное обозначение. Обозначим [math]\displaystyle{ \cos\tfrac{2\pi}n+i\sin\tfrac{2\pi}n }[/math] как [math]\displaystyle{ \omega_n. }[/math]

Число 9 раскладывается на простые множители как 32, так что многочлен [math]\displaystyle{ x^9-1 }[/math] можно разложить на круговые множители как [math]\displaystyle{ (x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1). }[/math] Корни последнего из них представляют собой корни 3-й степени из чисел (корней многочлена [math]\displaystyle{ x^2+x+1 }[/math]), которые, в свою очередь, являются первообразными корнями 3-й степени из 1, то есть первообразные корни 9-й степени из 1 равны

[math]\displaystyle{ x= \omega_{3}^{m} \sqrt[3] {\omega^{\pm 1}_{3} }, }[/math] где [math]\displaystyle{ m\in\{0,1,2\}. }[/math]

Тогда (с учётом главных значений кубических корней) «первообразные» косинусы и синусы выражаются как

[math]\displaystyle{ \frac12 \left(x+\frac1x\right) = \frac12 \left(\omega_{3}^{m} \sqrt[3]{ \omega_{3}^{\pm 1} }+ \omega_{3}^{-m} \sqrt[3]{ \omega_{3}^{\mp 1} }\right), }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac1{2i}\left(x-\frac1x\right)=\frac i2 \left( \omega_{3}^{-m} \sqrt[3]{ \omega_{3}^{\mp 1} }+ \omega_{3}^{m} \sqrt[3]{ \omega_{3}^{\pm 1} } \right), }[/math]

Пример 5: n = 2 · 7 = 14

Условное обозначение: [math]\displaystyle{ \omega_n:=\cos\tfrac{2\pi}n+i\sin\tfrac{2\pi}n. }[/math]

У полинома [math]\displaystyle{ x^{14}-1=(x^7-1)(x^7+1) }[/math] круговые множители таковы:

  • [math]\displaystyle{ x-1 }[/math] (круговой полином для 1-й степени);
  • [math]\displaystyle{ x+1 }[/math] (круговой полином для 2-й степени);
  • [math]\displaystyle{ x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 }[/math] (для 7-й степени);
  • [math]\displaystyle{ x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 }[/math] (для 14-й степени).

Корни полинома [math]\displaystyle{ x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 }[/math] точно противоположны корням полинома [math]\displaystyle{ x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 }[/math] (это можно доказать с помощью замены переменной на противоположную ей или по теореме Виета) и, следовательно, выглядят так:

[math]\displaystyle{ \frac16\left[1-w-\overline{w}\pm i\sqrt{3\left(7- \overline {\omega_{3} } y- \omega_{3} \overline{w}\right)}\right], }[/math]

где [math]\displaystyle{ 2w^3=7+21i\sqrt3. }[/math]

Пример 6: n = 3 · 5 = 15

Круговой многочлен [math]\displaystyle{ x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1 }[/math] не очень прост, и вместо того, чтобы искать его корни, лучше разложить угол [math]\displaystyle{ \tfrac{2\pi o}{3\cdot5} }[/math] (o — целое число) как сумму [math]\displaystyle{ \tfrac{2\pi}3o_1+\tfrac{2\pi}5o_2, }[/math] где o1 и o2 — некоторые целые числа.

Примечание. В отличие от 15, в факторизации числа 9 участвует один и тот же множитель двойной кратности — и в отличие от [math]\displaystyle{ \tfrac{2\pi o}{3\cdot5} }[/math] угол [math]\displaystyle{ \tfrac{2\pi o}{3^2} }[/math] не всегда можно разложить в виде [math]\displaystyle{ \tfrac{2\pi o_1}{3}+\tfrac{2\pi o_2}{3} }[/math] (o, o1 и o2 — целые числа).

Разложив угол на сумму углов, можно вычислять косинус и синус:

[math]\displaystyle{ \cos(\tfrac{2\pi o_1}3+\tfrac{2\pi o_2}5)+i\sin(\tfrac{2\pi o_1}3+\tfrac{2\pi o_2}5)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =(\cos\tfrac{2\pi o_1}3+i\sin\tfrac{2\pi o_1}3)(\cos\tfrac{2\pi o_2}5+i\sin\tfrac{2\pi o_2}5)= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left(\tfrac{-1+i\sqrt3}2\right)^{o_1}\left[\tfrac14(-1+\sqrt5+i\sqrt{10+2\sqrt5})\right]^{o_2}. }[/math]

Например, если o = 1, то в качестве o1 и o2 можно выбрать −1 и 2 соответственно. Тогда

[math]\displaystyle{ \cos\tfrac{2\pi}{15}+i\sin\tfrac{2\pi}{15} =\tfrac18(-1-i\sqrt3)(-1-\sqrt5+i\sqrt{10-2\sqrt5})= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\tfrac18[1+\sqrt5+\sqrt{30-6\sqrt5}+i(\sqrt3+\sqrt{15}-\sqrt{10-2\sqrt5})]. }[/math]

Пример 7: n = 17

Шаг 1

Поскольку данное число Ферма является простым, то, как и в случае n = 3, n = 5 и n = 7, в первую очередь нужно круговой полином [math]\displaystyle{ x^{16}+\cdots+x+1 }[/math] поделить на x8 и заменить на некоторую переменную b = x + 1/x ― получим [math]\displaystyle{ b^8+b^7+\cdots-4b+1. }[/math]

Условное обозначение. Обозначим корни многочлена [math]\displaystyle{ b^8+b^7+\cdots-4b+1 }[/math] как [math]\displaystyle{ b_{o/17}=2\cos\tfrac{2\pi o}{17}. }[/math]

Шаг 2[3]

Корни полинома [math]\displaystyle{ b^8+b^7+\cdots-4b+1 }[/math] лучше всего найти не через его коэффициенты, а пользуясь тем, что его корни ― удвоенные косинусы. Для этого нужно некоторым образом распределить все его корни по двум суммам S1 и S2, найти S1 + S2 и S1S2 и по теореме Виета вывести для S1 и S2 уравнение, решив которое и получим S1 и S2.

Если поточнее, корни полинома [math]\displaystyle{ b^8+b^7+\cdots-4b+1 }[/math] нужно распределять по степеням двойки:

  • [math]\displaystyle{ S_1=b_{2^0/17}+b_{2^1/17}+b_{2^2/17}+b_{2^3/17}=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ S_2=b_{3\cdot2^0/17}+b_{3\cdot2^1/17}+b_{3\cdot2^2/17}+b_{3\cdot2^3/17}=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}. }[/math]

Сумма S1 + S2 равна сумме всех корней [math]\displaystyle{ b^8+b^7+\cdots-4b+1, }[/math] а значит, по теореме Виета равна −1, а произведение находится по формуле косинуса произведения [math]\displaystyle{ (2\cos\alpha)(2\cos\beta)=[2\cos(\alpha+\beta)]+[2\cos(\pm\alpha\mp\beta)]\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ (b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17})(b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17})= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\underbrace{(b_{1/17}b_{3/17})+\cdots+(b_{8/17}b_{7/17})}_{\text{16 слагаемых}} =\underbrace{(b_{4/17}+b_{2/17})+\cdots+(b_{15/17}+b_{1/17})}_{\text{32 слагаемых, включая внутри скобок}} }[/math] (по формуле косинуса произведения)

[math]\displaystyle{ =2\underbrace{(b_{1/17}+b_{2/17}+\cdots+b_{15/17}+b_{16/17})}_{\text{16 слагаемых}}=4(S_1+S_2)=-4. }[/math]

Тогда получается квадратное уравнение [math]\displaystyle{ S^2+S-4=0 }[/math] с корнями [math]\displaystyle{ \tfrac{-1\pm\sqrt{17}}2, }[/math] причём они распределяются так:

  • [math]\displaystyle{ S_1=b_{1/17}+b_{2/17}+b_{4/17}+b_{8/17}=\tfrac{-1+\sqrt{17}}2; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ S_2=b_{3/17}+b_{6/17}+b_{5/17}+b_{7/17}=\tfrac{-1-\sqrt{17}}2. }[/math]

Шаг 3

Слагаемые, заключённые в S1 и S2, снова надо распределить пополам по суммам, причём по степеням четвёрки — и образуются четыре числа:

  • [math]\displaystyle{ T_{1.1}=b_{2^0/17}+b_{2^2/17}=b_{1/17}+b_{4/17}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ T_{1.2}=b_{2^1/17}+b_{2^3/17}=b_{2/17}+b_{8/17}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ T_{2.1}=b_{3\cdot2^0/17}+b_{3\cdot2^2/17}=b_{3/17}+b_{5/17}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ T_{2.2}=b_{3\cdot2^1/17}+b_{3\cdot2^3/17}=b_{6/17}+b_{7/17}. }[/math]

Сумма [math]\displaystyle{ T_{m.1}+T_{m.2} }[/math] (где m пробегает множество {1, 2}) равна [math]\displaystyle{ S_m=\tfrac{-1\pm\sqrt{17}}2, }[/math] а произведение [math]\displaystyle{ T_{m.1}T_{m.2} }[/math] (по той же формуле [math]\displaystyle{ \cos\alpha\cos\beta=\tfrac12[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\pm\alpha\mp\beta)] }[/math]) равно −1 (при m = 1 и при m = 2), а значит, здесь по теореме Виета мы получаем квадратное уравнение [math]\displaystyle{ T_m^2-S_mT_m-1=0 }[/math] для T:

  • [math]\displaystyle{ T_{1.1}=\tfrac14(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}); }[/math]
  • [math]\displaystyle{ T_{1.2}=\tfrac14(-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}); }[/math]
  • [math]\displaystyle{ T_{2.1}=\tfrac14(-1-\sqrt{17}+\sqrt{34+2\sqrt{17}}); }[/math]
  • [math]\displaystyle{ T_{2.2}=\tfrac14(-1-\sqrt{17}-\sqrt{34+2\sqrt{17}}). }[/math]

Шаг 4

Во 2-м и 3-м этапах мы каждый раз «дробили» суммы пополам. Здесь мы сделаем то же самое и таким образом уже дойдём до самих корней (чисел bo/17). Суммы равны:

  • [math]\displaystyle{ b_{1/17}+b_{4/17}=T_{1.1}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{2/17}+b_{8/17}=T_{1.2}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{3/17}+b_{5/17}=T_{2.1}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{6/17}+b_{7/17}=T_{2.2}, }[/math]

а соответствующие произведения:

  • [math]\displaystyle{ b_{1/17}b_{4/17}=b_{5/17}+b_{3/17}=T_{2.1}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{2/17}b_{8/17}=b_{10/17}+b_{6/17}=T_{2.2}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{3/17}b_{5/17}=b_{8/17}+b_{2/17}=T_{1.2}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{6/17}b_{7/17}=b_{13/17}+b_{1/17}=T_{1.1}. }[/math]

Составив все требуемые квадратные уравнения, получаем искомые косинусы:

  • [math]\displaystyle{ b_{1/17}/2 }[/math] или [math]\displaystyle{ b_{4/17}/2 }[/math] — [math]\displaystyle{ \tfrac1{16}(16-N+\sqrt{2N}\pm2\sqrt{2M-N-\sqrt{2N}-2\sqrt{2M}}); }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{2/17}/2 }[/math] или [math]\displaystyle{ b_{8/17}/2 }[/math] — [math]\displaystyle{ \tfrac1{16}(16-N-\sqrt{2N}\pm2\sqrt{2M-N+\sqrt{2N}+2\sqrt{2M}}); }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{3/17}/2,b_{5/17}/2 }[/math] — [math]\displaystyle{ \tfrac1{16}(16-M+\sqrt{2M}\pm2\sqrt{2N-M-\sqrt{2M}+2\sqrt{2N}}); }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{6/17}/2,b_{7/17}/2 }[/math] — [math]\displaystyle{ \tfrac1{16}(16-M-\sqrt{2M}\pm2\sqrt{2N-M+\sqrt{2M}-2\sqrt{2N}}); }[/math]

где [math]\displaystyle{ M = 17+\sqrt{17},N = 17-\sqrt{17} }[/math].

Пример 8: n = 13

Нужно круговой полином [math]\displaystyle{ x^{12}+\cdots+x+1 }[/math] поделить на x6 и заменить x + 1/x на некоторую переменную b ― получается полином [math]\displaystyle{ b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1. }[/math] Между 7-м примером (n = 17) и данным (n = 13) есть некоторые сходства: во-первых, 13 и 17 оба простые числа, а во-вторых, степени многочленов [math]\displaystyle{ b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1 }[/math] (который соответствует n = 13) и [math]\displaystyle{ b^8+b^7+\cdots-4b+1 }[/math] (n = 17) являются составными числами — поэтому возникает такое подозрение, что корни полинома [math]\displaystyle{ b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1 }[/math] нужно найти по тому же принципу, какой был в 7-м примере: причём здесь нужно сначала вывести и решить квадратное уравнение, а лишь потом — кубическое.

Условное обозначение. Обозначим корни полинома [math]\displaystyle{ b^6+b^5-5b^4-4b^3+6b^2+3b-1 }[/math] как [math]\displaystyle{ b_{o/13}=2\cos\tfrac{2\pi o}{13}. }[/math]

Шаг 1

Распределим все шесть корней указанного полинома по двум суммам S1, S2 и по степеням тройки:

  • [math]\displaystyle{ S_1=x_{3^0/13}+x_{3^1/13}+x_{3^2/13}=x_{1/13}+x_{3/13}+x_{4/13}; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ S_2=x_{2\cdot3^0/13}+x_{2\cdot3^1/13}+x_{2\cdot3^2/13}=x_{2/13}+x_{6/13}+x_{5/13} }[/math]

и вычислим следующие величины с помощью тождества [math]\displaystyle{ (2\cos\alpha)(2\cos\beta)=[2\cos(\alpha+\beta)]+[2\cos(\pm\alpha\mp\beta)]\colon }[/math]

  • [math]\displaystyle{ S_1+S_2=-1; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ \begin{align} S_1S_2 & = (b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13})(b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}) \\ & = b_{1/13}b_{2/13}+b_{1/13}b_{6/13}+b_{1/13}b_{5/13} \\ & + b_{3/13}b_{2/13}+b_{3/13}b_{6/13}+b_{3/13}b_{5/13} \\ & + b_{4/13}b_{2/13}+b_{4/13}b_{6/13}+b_{4/13}b_{5/13} \\ & = (b_{3/13}+b_{1/13})+(b_{7/13}+b_{5/13})+(b_{6/13}+b_{4/13}) \\ & + (b_{5/13}+b_{1/13})+(b_{9/13}+b_{3/13})+(b_{8/13}+b_{2/13}) \\ & + (b_{6/13}+b_{2/13})+(b_{10/13}+b_{2/13})+(b_{9/13}+b_{1/13}) \\ & = 3(b_{1/13}+b_{2/13}+b_{3/13}+b_{4/13}+b_{5/13}+b_{6/13})=3(S_1+S_2)=-3, \\ \end{align} }[/math]

получив уравнение [math]\displaystyle{ S^2+S-3=0 }[/math], решив которое получаем: [math]\displaystyle{ S_1=b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=\tfrac{-1+\sqrt{13}}2, }[/math] [math]\displaystyle{ S_2=b_{2/13}+b_{6/13}+b_{5/13}=\tfrac{-1-\sqrt{13}}2. }[/math]

Шаг 2

S1 и S2 известны — теперь с помощью них нужно вывести кубические уравнения относительно b. Для демонстрации выберем, например, корни, входящие в сумму S1. Тогда нужно найти следующие величины:

  • [math]\displaystyle{ b_{1/13}+b_{3/13}+b_{4/13}=S_1=\tfrac{-1+\sqrt{13}}2; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{1/13}b_{3/13}+b_{3/13}b_{4/13}+b_{4/13}b_{1/13} = b_{4/13}+b_{2/13}+b_{7/13}+b_{1/13}+b_{5/13}+b_{3/13}= S_1+S_2=-1; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ b_{1/13}b_{3/13}b_{4/13}=(b_{4/13}+b_{2/13})b_{4/13}=b_{4/13}^2+b_{2/13}b_{4/13}=(2+b_{8/13})+(b_{6/13}+b_{2/13})=2+S_2=\tfrac{3-\sqrt{13}}2, }[/math]

чтобы по теореме Виета получить уравнение. Если в совокупности с корнями, входящими в S1, включить корни, входящие в S2, — в результате получится уравнение [math]\displaystyle{ b^3-\tfrac{-1\pm\sqrt{13}}2b^2-b+\tfrac{-3\pm\sqrt{13}}2=0 }[/math].

Шаг 3 — приведение к канонической форме

[math]\displaystyle{ (b-\tfrac{-1\pm\sqrt{13}}6)^3+\tfrac{-13\pm\sqrt{13}}6(b-\tfrac{1\pm\sqrt{13}}6)+\tfrac{-26\pm5\sqrt{13}}{27}=0 }[/math] (каноническая форма) [math]\displaystyle{ |\cdot6^3, }[/math]

[math]\displaystyle{ [6b-(-1\pm\sqrt{13})]^3+6(-13\pm\sqrt{13})[6b-(-1\pm\sqrt{13})]+8(-26\pm5\sqrt{13})=0 }[/math] (чтобы в ответе знаменатель сразу был вынесен из-под корня).

Шаг 4 — решение канонического уравнения

[math]\displaystyle{ \begin{align} 6b-(-1\pm\sqrt{13}) & = \omega_3^m\sqrt[3]{-\tfrac{8(-26\pm5\sqrt{13})}2 - \sqrt{\tfrac{8(-26\pm5\sqrt{13})}2^2+\tfrac{6(-13\pm\sqrt{13})}3^3}} \\ & + \omega_3^{-m}\sqrt[3]{-\tfrac{8(-26\pm5\sqrt{13})}2 + \sqrt{\tfrac{8(-26\pm5\sqrt{13})}2^2+\tfrac{6(-13\pm\sqrt{13})}3^3}} \\ & = \omega_3^m\sqrt[3]{4(26\mp5\sqrt{13} - 3i\sqrt{39})} + \omega_3^{-m}\sqrt[3]{4(26\mp5\sqrt{13} + 3i\sqrt{39})}, \\ \end{align} }[/math]

где m пробегает {0, 1, 2}, а [math]\displaystyle{ \omega_n=\cos\tfrac{2\pi}n+i\sin\tfrac{2\pi}n. }[/math]

Прочее

Использование для вычисления других констант

Например, объём правильного додекаэдра с длиной ребра [math]\displaystyle{ a }[/math] может быть задан формулой:

[math]\displaystyle{ V=\frac{5a^3\cos36^\circ}{\tan^2{36^\circ}}. }[/math]

Если использовать выражения

[math]\displaystyle{ \cos 36^\circ=\frac{\sqrt5+1}{4},\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \tan 36^\circ=\sqrt{5-2\sqrt5},\, }[/math]

формулу можно упростить до

[math]\displaystyle{ V=\frac{a^3\left(15+7\sqrt5\right)}{4}.\, }[/math]

Вывод через треугольники

Правильный n-угольник и его фундаментальный прямоугольный треугольник. Углы: a = 180°n, b =90(1 − 2n)°

Вывод значений синуса, косинуса и тангенса в радикальную форму базируется на возможности построения при помощи циркуля и линейки правильных многоугольников.

Здесь прямоугольные треугольники, сделанные сечениями по осям симметрии правильных многоугольников, используются для вычисления фундаментальных тригонометрических соотношений. В каждом из прямоугольных треугольников вершинами являются:

  • Центр многоугольника
  • Вершина многоугольника
  • Середина стороны, содержащей эту вершину

Правильный n-угольник можно разделить на 2n треугольников с углами 180n, 90 − 180n, 90 градусов для n, большего или равного 3. Возможность построения при помощи циркуля и линейки треугольника, квадрата, пяти- и пятнадцатиугольника — в базе, биссектрисы углов также позволяют быть выведенными многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника.

Есть и ещё правильные многоугольники, которые можно построить при помощи циркуля и линейки: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, …, 65535, 65537, 69481, 73697, …, 4294967295.)
  • Нельзя построить при помощи циркуля и линейки (с полуградусными или целыми углами) — Для получаемых соотношений сторон треугольников нет конечных радикальных форм, включающих действительные числа, а значит, многоугольники с числом сторон, равным степени двойки, умноженным на число сторон данного многоугольника, не огут быть выведены.

Подсчитанные значения синуса и косинуса

Тривиальные величины

Синус и косинус 0, 30, 45, 60 и 90 градусов могут быть вычислены из соответственных прямоугольных треугольников по теореме Пифагора.

При использовании радианов, синус и косинус [math]\displaystyle{ \pi }[/math] / 2n могут быть выражены в радикальной форме при помощи рекурсивного применения следующих формул:

[math]\displaystyle{ 2\cos\theta = \sqrt{2 + 2\cos2\theta} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2\cos4\theta}} = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos8\theta}}} }[/math]; т.д.
[math]\displaystyle{ 2\sin\theta = \sqrt{2 - 2\cos2\theta} = \sqrt{2 - \sqrt{2 + 2\cos4\theta}} = \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2+2\cos8\theta}}} }[/math]; т.д.

Например:

[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{2^1} = \frac{0}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{2^2} = \frac{\sqrt{2+0}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{2^2} = \frac{\sqrt{2-0}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{2^3} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{2^3} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{2^4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{2^4} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{2^5} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{2^5} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{2^6} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{2^6} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}}}{2} }[/math]

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус [math]\displaystyle{ \pi }[/math](3 × 2n)

[math]\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{3} = \frac{-1}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2-1}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2+1}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3 \times 2^1} = \frac{\sqrt{2+1}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3 \times 2^1} = \frac{\sqrt{2-1}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{3 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{3 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}}{2} }[/math]

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус [math]\displaystyle{ \pi }[/math](5 × 2n)

[math]\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5 \times 2^0} = \frac{\sqrt{5}+1}{4} }[/math] (Поэтому [math]\displaystyle{ 2 + 2\cos\frac{\pi}{5} = 2 + \sqrt{1.25} + 0.5 }[/math])
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5 \times 2^1} = \frac{\sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{5 \times 2^1} = \frac{\sqrt{1.5 - \sqrt{1.25}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{5 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{5 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{5 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{5 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{5 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2.5 + \sqrt{1.25}}}}}}}{2} }[/math]

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус [math]\displaystyle{ \pi }[/math](5 × 3 × 2n)

[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{15 \times 2^0} = \frac{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} - 0.25}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{15 \times 2^1} = \frac{\sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{15 \times 2^1} = \frac{\sqrt{2.25 - \sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} - \sqrt{0.3125}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{15 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{15 \times 2^2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{15 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{15 \times 2^3} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{15 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{15 \times 2^4} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{15 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{15 \times 2^5} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{\sqrt{\sqrt{0.703125}+1.875} + \sqrt{0.3125} + 1.75}}}}}}{2} }[/math]

и т. д.

Радикальная форма, синус и косинус [math]\displaystyle{ \pi }[/math](17 × 2n)

Если [math]\displaystyle{ M = 2(17+\sqrt{17}) }[/math] и [math]\displaystyle{ N = 2(17-\sqrt{17}) }[/math], то

[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{17} = \frac{\sqrt{M-4+2(\sqrt{N}+\sqrt{2(2M-N+\sqrt{17N}-\sqrt{N}-8\sqrt{M})})}}{8}. }[/math]

Затем, используя индукцию, получаем, что

[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{17 \times 2^0} = \frac{\sqrt{30+2\sqrt{17}+\sqrt{136-8\sqrt{17}} + \sqrt{272+48\sqrt{17}+8\sqrt{34-2\sqrt{17}} \times (\sqrt{17}-1)-64\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}}{8}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{17 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{17 \times 2^n}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{17 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{17 \times 2^n}}}{2}. }[/math]

Радикальная форма, синус и косинус [math]\displaystyle{ \pi }[/math](257 × 2n); [math]\displaystyle{ \pi }[/math](65537 × 2n)

Индукция, применённая выше, может быть применена точно так же к любым простым числам Ферма (F3=223+1=28+1=257; F4=224+1=216+1=65537), кратные [math]\displaystyle{ \pi }[/math] чьи значения синуса и косинуса в радикальной форме существуют, но чересчур длинны, чтобы их здесь привести.

[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{257 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{257 \times 2^n}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{257 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{257 \times 2^n}}}{2}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{65537 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{65537 \times 2^n}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{65537 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{65537 \times 2^n}}}{2}. }[/math]

Радикальная форма, синус и косинус [math]\displaystyle{ \pi }[/math](255 × 2n), [math]\displaystyle{ \pi }[/math](65535 × 2n); [math]\displaystyle{ \pi }[/math](4294967295 × 2n)

D = 232 — 1 = 4294967295 — самый большой известный на данный момент нечётный целый знаменатель, для которого радикальные формы sin([math]\displaystyle{ \pi }[/math]/D) и cos ([math]\displaystyle{ \pi }[/math]/D) известны. Используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило [math]\displaystyle{ \cos (a-b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b }[/math] по индукции, получаем -

[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{255 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos(\frac{\pi}{15}-\frac{\pi}{17})}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{255 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos(\frac{\pi}{15}-\frac{\pi}{17})}}{2}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{255 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{255 \times 2^n}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{255 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{255 \times 2^n}}}{2}; }[/math]

Следовательно, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило [math]\displaystyle{ \cos (a-b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b }[/math] по индукции, получаем -

[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{65535 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos(\frac{\pi}{255}-\frac{\pi}{257})}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{65535 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos(\frac{\pi}{255}-\frac{\pi}{257})}}{2}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{65535 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{65535 \times 2^n}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{65535 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{65535 \times 2^n}}}{2}. }[/math]

И наконец, используя радикальные формы величин из разделов выше, и применяя правило [math]\displaystyle{ \cos (a-b) = \cos a \times \cos b + \sin a \times \sin b }[/math] по индукции, получаем -

[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4294967295 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos(\frac{\pi}{65535}-\frac{\pi}{65537})}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{4294967295 \times 2^0} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos(\frac{\pi}{65535}-\frac{\pi}{65537})}}{2}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos\frac{\pi}{4294967295 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{4294967295 \times 2^n}}}{2} }[/math]; [math]\displaystyle{ \sin\frac{\pi}{4294967295 \times 2^{n+1}} = \frac{\sqrt{2 - 2\cos\frac{\pi}{4294967295 \times 2^n}}}{2}. }[/math]

Радикальная форма раскрытия, приведённого выше, очень велика, следовательно, выражена проще (как выше).

n × π(5 × 2m)

Хорда(36°) = ab = 1φ, то есть, числу, обратному золотому сечению, из неравенства Птолемея

Геометрический метод

Применяя неравенство Птолемея ко вписанному четырёхугольнику ABCD, определённому четырьмя последовательными вершинами пятиугольника, находим, что:

[math]\displaystyle{ \operatorname{crd} 36^\circ = \operatorname{crd} (\angle\mathrm{ADB}) = \frac{a}{b} =\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} }[/math]

что равно обратному числу 1φ по отношению к золотому сечению. crd — функция длины хорды,

[math]\displaystyle{ \operatorname{crd}\ {\theta}=2\sin\frac{\theta}{2}.\, }[/math]

А значит,

[math]\displaystyle{ \sin 18^\circ=\frac{1}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}. }[/math]

(Также можно обойтись и без неравенства Птолемея. Обозначим за X пересечение AC и BD, и заметим, что треугольник AXB равнобедренный, а значит, AX = AB = a. Треугольники AXD и CXB подобны, так как AD параллельно BC. Значит, XC = a·(ab). Но AX + XC = AC, а значит, a + a2b = b. Решив полученное, имеем, что ab = 1φ, как и получено ранее).

Точно так же

[math]\displaystyle{ \operatorname{crd}\ 108^\circ=\operatorname{crd}(\angle\mathrm{ABC})=\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, }[/math]

а значит,

[math]\displaystyle{ \sin 54^\circ=\cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt{5}}{4}. }[/math]

Алгебраический метод

Если θ равно 18° или −54°, то 2θ и 3θ сводятся к 5θ = 90° или −270°, значит, [math]\displaystyle{ \sin 2\theta = \cos 3\theta }[/math].

[math]\displaystyle{ (2\sin\theta)\cos\theta = \sin2\theta = \cos3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos\theta = (4\cos^2\theta-3)\cos\theta = (1-4\sin^2\theta)\cos\theta }[/math]
Далее, [math]\displaystyle{ 4\sin^2\theta+2\sin\theta-1=0 }[/math], что значит [math]\displaystyle{ \sin\theta = \sin(18^\circ , -54^\circ) = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}. }[/math]

Следовательно,

[math]\displaystyle{ \sin(18^\circ) = \cos(72^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} }[/math] и [math]\displaystyle{ \sin(54^\circ) = \cos(36^\circ) = \frac{\sqrt{5}+1}{4} }[/math] и
[math]\displaystyle{ \sin(36^\circ) = \cos(54^\circ) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4} }[/math] и [math]\displaystyle{ \sin(72^\circ) = \cos(18^\circ) = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}. }[/math]

Также формулы кратного угла для функций от 5x, где x ∈ {18, 36, 54, 72, 90} и 5x ∈ {90, 180, 270, 360, 450}, могут быть решены для функций от x, так как мы знаем значения функций от 5x. Далее следуют формулы кратного угла:

[math]\displaystyle{ \sin5x=16\sin^5 x-20\sin^3 x+5\sin x,\, }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos5x=16\cos^5 x-20\cos^3 x+5\cos x.\, }[/math]
  • Если sin 5x = 0 или cos 5x = 0, обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:
[math]\displaystyle{ 16y^5-20y^3+5y=0.\, }[/math]
Один из корней равен 0, так что полученное уравнение четвёртой степени может быть решено как квадратное для y2.
  • Если же sin 5x = 1 или cos 5x = 1, опять-таки обозначим y = sin x или y = cos x и решим уравнение для y:
[math]\displaystyle{ 16y^5-20y^3+5y-1=0,\, }[/math]
что мы рассматриваем как:
[math]\displaystyle{ (y-1)\left(4y^2+2y-1\right)^2=0.\, }[/math]

n × [math]\displaystyle{ \pi }[/math]20

9° = 45 − 36 и 27° = 45 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × [math]\displaystyle{ \pi }[/math]30

6° = 36 − 30, 12° = 30 − 18, 24° = 54 − 3, и 42° = 60 − 18; так что можно использовать формулу разности для синуса и косинуса.

n × [math]\displaystyle{ \pi }[/math]60

3° = 18 − 15, 21° = 36 − 15, 33° = 18 + 15 и 39° = 54 − 15, так что можно использовать формулу разности (или суммы) для синуса и косинуса.

Способы упрощения выражений

Рационализация знаменателя

  • Если знаменатель является корнем натуральной степени n > 1, числитель и знаменатель нужно умножить на этот радикал в степени n − 1: [math]\displaystyle{ \tfrac1{\sqrt3}=\tfrac{\sqrt3}3 }[/math].
  • В общем случае если знаменатель — алгебраическое число второй степени (комплексное число вида [math]\displaystyle{ q\pm\sqrt{r} }[/math], где q и r рациональны), то числитель и знаменатель нужно умножить на сопряжённое ему число: [math]\displaystyle{ \tfrac1{1+\sqrt3}=\tfrac{1-\sqrt3}{(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)}=\tfrac{1-\sqrt3}{-2}. }[/math]
  • В некоторых случаях знаменатель нужно рационализировать больше одного раза:
    • [math]\displaystyle{ \csc\tfrac{2\pi}5=\tfrac4\sqrt{10+2\sqrt5}=\tfrac{4\sqrt{10-2\sqrt5}}{\sqrt{(10+2\sqrt5)(10-2\sqrt5)}} =\tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}{\sqrt5}=\tfrac{\sqrt{10(5-\sqrt5)}}5. }[/math]
  • А если знаменатель представляет собой алгебраическое число более чем второй степени, то лучше всего будет не умножать на сопряжённые числа (хотя это тоже имеет место), а найти минимальный многочлен этого алгебраического числа, выразить через него многочлен, одним из корней какого является число, обратное этому числу, и найти корни последнего.
    • Дано число [math]\displaystyle{ \sec\tfrac{2\pi}7=\frac{6}{-1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt3i}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt3i}{2}}}. }[/math] Обратная к нему величина, умноженная на 2, является корнем многочлена [math]\displaystyle{ b^3+b^2-2b-1 }[/math] (это было показано выше). Тогда сам секанс, делённый на 2, — корень многочлена [math]\displaystyle{ (b^{-3}+b^{-2}-2b^{-1}-1)b^3 }[/math], и в итоге [math]\displaystyle{ \sec\tfrac{2\pi}7=\tfrac23(-2+\sqrt[3]{\tfrac{-7+21\sqrt3i}{2}}+\sqrt[3]{\tfrac{-7-21\sqrt3i}{2}}). }[/math]

Превращение дроби в сумму (разность) двух (или более) дробей

Иногда помогает разбиение одной дроби на сумму нескольких и дальнейшее их упрощение по отдельности.

Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня

Этот план может помочь, если выражение состоит из одного составного члена и в нём присутствует только один тип радикала. Возведите член в квадрат, сложите как члены и извлеките квадратный корень. Этот способ может оставить вложенные радикалы, но часто такое выражение проще первоначального.

Упрощение выражений с вложенными радикалами

Основная статья: Вложенные радикалы

В основном вложенные радикалы не упрощаются. Но если

[math]\displaystyle{ \sqrt{a \pm b\sqrt c}\, }[/math]

где a, b и c — рациональные числа, получаем, что

[math]\displaystyle{ R=\sqrt{a^2-b^2c}\, }[/math]

рационально, затем оба выражения

[math]\displaystyle{ d=\frac{a + R}{2}\text{ и }e=\frac{a - R}{2}\, }[/math]

рациональны; следовательно

[math]\displaystyle{ \sqrt{a\pm b\sqrt c}=\sqrt{d}\pm\sqrt{e}. \, }[/math]

Например,

[math]\displaystyle{ 4\sin18^\circ=\sqrt{6-2\sqrt5}=\sqrt5-1. \, }[/math]
[math]\displaystyle{ 4\sin15^\circ=2\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right). }[/math]

См. также

Примечания

  1. ↑ 1,0 1,1 Bradie, Brian. Exact values for the sine and cosine of multiples of 18°: A geometric approach (англ.) // The College Mathematics Journal[англ.] : magazine. — 2002. — September (vol. 33, no. 4). — P. 318—319. — doi:10.2307/1559057. — JSTOR 1559057.
  2. ↑ trigonometry - Method to find $\sin (2\pi/7)$. Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 30 марта 2021. Архивировано 28 сентября 2015 года.
  3. ↑ How to prove that [math]\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right)=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16} [/math] - Quora. www.quora.com. Дата обращения: 3 апреля 2021.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Тригонометрические_константы&oldid=5879780