Периодическая функция
Периодическая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
Говоря более формально, функция называется периодической с периодом [math]\displaystyle{ T\ne 0 }[/math], если для каждой точки [math]\displaystyle{ x }[/math] из её области определения точки [math]\displaystyle{ x+T }[/math] и [math]\displaystyle{ x-T }[/math] также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство [math]\displaystyle{ f(x)= f(x+T)= f(x-T) }[/math].
Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство [math]\displaystyle{ f(x)=f(x+nT) }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — любое целое число.
Все тригонометрические функции являются периодическими.
Формальное определение
Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] есть абелева группа (обычно предполагается [math]\displaystyle{ M=(\R,+) }[/math] — вещественные числа с операцией сложения или [math]\displaystyle{ (\mathbb C,+) }[/math] — комплексные числа). Функция [math]\displaystyle{ f: M \to N }[/math] (где [math]\displaystyle{ N }[/math] — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом [math]\displaystyle{ T \not= 0 }[/math] , если справедливо
- [math]\displaystyle{ f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M }[/math].
Если это равенство не выполнено ни для какого [math]\displaystyle{ T \in M,\, T \not=0 }[/math] , то функция [math]\displaystyle{ f }[/math] называется апериоди́ческой.
Если для функции [math]\displaystyle{ f: \mathbb C \to N }[/math] существуют два периода [math]\displaystyle{ T_1, T_2\not= 0 }[/math], отношение которых не равно вещественному числу, то есть [math]\displaystyle{ \frac{T_1}{T_2} \not\in \mathbb{R} }[/math], то [math]\displaystyle{ f }[/math] называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения [math]\displaystyle{ f }[/math] на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на [math]\displaystyle{ T_1, T_2 }[/math].
Замечание
Период функции определён неоднозначно. В частности, если [math]\displaystyle{ T }[/math] — период, то и любой элемент [math]\displaystyle{ T' }[/math] вида [math]\displaystyle{ T' = \underbrace{T+\cdots+T}_n }[/math] (или [math]\displaystyle{ T' = n T }[/math], если в области определения функции определена операция умножения), где [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N} }[/math] — произвольное натуральное число, также является периодом.
Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.
Однако если у множества периодов [math]\displaystyle{ \{T, T\gt 0, T\in\mathbb{R}\} }[/math] имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.
Примеры
- Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math] , так как
- [math]\displaystyle{ \sin( x + 2\pi) = \sin x,\; \cos( x + 2\pi) = \cos x,\quad \forall x \in \mathbb{R}. }[/math]
- Функции тангенс и котангенс являются периодическими с основным периодом [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
- Функция [math]\displaystyle{ f(x)=(-1)^x }[/math], определённая на целых числах, является периодической с основным периодом [math]\displaystyle{ 2 }[/math].
- Функция, равная константе [math]\displaystyle{ f(x) = \mathrm{const} }[/math], является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
- Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
- Функция [math]\displaystyle{ f(x) = x^2,\; x \in \mathbb{R} }[/math] является апериодической.
Некоторые особенности периодических функций
- Сумма двух функций с соизмеримыми периодами [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному [math]\displaystyle{ T_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции [math]\displaystyle{ f(x)=\sin(2x)-\sin(3x) }[/math] основной период равен [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math], у функции [math]\displaystyle{ g(x)=\sin(3x) }[/math] период равен [math]\displaystyle{ 2\pi/3 }[/math], а у их суммы [math]\displaystyle{ f(x)+g(x)=\sin(2x) }[/math] основной период, очевидно, равен [math]\displaystyle{ \pi }[/math].
- Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
- Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.