Решение треугольников

Исторический термин «решение треугольников» (лат. solutio triangulorum) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) и т. п. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math]) и 3 угловые ([math]\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma }[/math]). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная.

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• две стороны и угол напротив одной из них;
• сторона и два прилежащих угла;
• сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Основные теоремы

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников:

Теорема косинусов

[math]\displaystyle{ a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cdot \cos \alpha }[/math]

[math]\displaystyle{ b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cdot \cos \beta }[/math]

[math]\displaystyle{ c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos \gamma }[/math]

Теорема синусов

[math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} }[/math]

Сумма углов треугольника

[math]\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ }[/math]

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

Замечания

1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синус. Например, если [math]\displaystyle{ \sin \beta = 0{,}5, }[/math] то угол [math]\displaystyle{ \beta }[/math] может быть как [math]\displaystyle{ 30^\circ }[/math], так и [math]\displaystyle{ 150^\circ }[/math], потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от [math]\displaystyle{ 0^\circ }[/math] до [math]\displaystyle{ 180^\circ }[/math] значение косинуса определяет угол однозначно.
2. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
3. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем [math]\displaystyle{ 180^\circ }[/math].

Заданы три стороны

Три стороны

Пусть заданы длины всех трёх сторон [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math]. Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

[math]\displaystyle{ a \lt b + c,\quad b \lt a + c,\quad c \lt a + b. }[/math]

Чтобы найти углы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math], надо воспользоваться теоремой косинусов:

[math]\displaystyle{ \alpha=\arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2b c},\quad\beta=\arccos\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}. }[/math]

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна [math]\displaystyle{ 180^\circ\colon }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta). }[/math]

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть для определённости известны длины сторон [math]\displaystyle{ a, b }[/math] и угол [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны [math]\displaystyle{ c }[/math] применяется теорема косинусов:

[math]\displaystyle{ c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}. }[/math]

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

[math]\displaystyle{ \alpha= \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}= \arccos \frac{b-a\cos\gamma} {\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}}. }[/math]

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: [math]\displaystyle{ \beta = 180^\circ - \alpha - \gamma }[/math].

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол напротив одной из них

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны [math]\displaystyle{ b, c }[/math] и угол [math]\displaystyle{ \beta }[/math]. Тогда уравнение для угла [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] находится из теоремы синусов:

[math]\displaystyle{ \sin\gamma = \frac{c}{b} \sin\beta. }[/math]

Для краткости обозначим [math]\displaystyle{ D=\frac{c}{b} \sin\beta }[/math] (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от D.

1. Задача не имеет решения (сторона [math]\displaystyle{ b }[/math] «не достаёт» до линии [math]\displaystyle{ BC }[/math]) в двух случаях: если [math]\displaystyle{ D\gt 1 }[/math] или если угол [math]\displaystyle{ \beta \geqslant 90^\circ }[/math] и при этом [math]\displaystyle{ b \leqslant c. }[/math]
2. Если [math]\displaystyle{ D=1, }[/math] существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный: [math]\displaystyle{ \gamma =\arcsin D = 90^\circ. }[/math]

Два возможных решения

3. Если [math]\displaystyle{ D\lt 1, }[/math] то возможны 2 варианта.
   1. Если [math]\displaystyle{ b\lt c }[/math], то угол [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] имеет два возможных значения: острый угол [math]\displaystyle{ \gamma = \arcsin D }[/math] и тупой угол [math]\displaystyle{ \gamma' = 180^\circ - \gamma }[/math]. На рисунке справа первому значению соответствуют точка [math]\displaystyle{ C }[/math], сторона [math]\displaystyle{ b }[/math] и угол [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], а второму значению — точка [math]\displaystyle{ C' }[/math], сторона [math]\displaystyle{ b'=b }[/math] и угол [math]\displaystyle{ \gamma' }[/math].
   2. Если [math]\displaystyle{ b \geqslant c }[/math], то [math]\displaystyle{ \beta \geqslant \gamma }[/math] (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] исключён и решение [math]\displaystyle{ \gamma=\arcsin D }[/math] единственно.

Третий угол определяется по формуле [math]\displaystyle{ \alpha = 180^\circ - \beta - \gamma }[/math]. Третью сторону можно найти по теореме синусов:

[math]\displaystyle{ a = b\ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} }[/math]

В данном случае заданы сторона и прилежащие к ней углы. Аналогичные рассуждения имеют смысл, даже если один из известных углов противоположен стороне.

Сторона и два угла

Пусть задана сторона [math]\displaystyle{ c }[/math] и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше [math]\displaystyle{ 180^\circ }[/math]. В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math], то [math]\displaystyle{ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta }[/math]. Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов:

[math]\displaystyle{ a = c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}, \quad b = c\ \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}. }[/math]

Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой [math]\displaystyle{ C }[/math], гипотенузу — [math]\displaystyle{ c }[/math]. Катеты обозначаются [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math], а величины противолежащих им углов — [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

[math]\displaystyle{ c^2 = a^2 + b^2 }[/math]

и определения основных тригонометрических функций:

[math]\displaystyle{ \sin \alpha = \cos \beta = \frac ac,\quad \cos \alpha = \sin \beta = \frac bc, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} \beta = \frac ab,\quad \operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{tg} \beta = \frac ba. }[/math]

Ясно также, что углы [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — острые, так как их сумма равна [math]\displaystyle{ 90^\circ }[/math]. Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

[math]\displaystyle{ c = \sqrt{a^2 + b^2}. }[/math]

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

[math]\displaystyle{ \alpha = \operatorname{arctg} \frac ab, \quad \beta = \operatorname{arctg} \frac ba }[/math]

или же по только что найденной гипотенузе:

[math]\displaystyle{ \alpha = \arcsin \frac ac = \arccos \frac bc , \quad \beta = \arcsin \frac bc = \arccos \frac ac. }[/math]

Катет и гипотенуза

Пусть известны катет [math]\displaystyle{ b }[/math] и гипотенуза [math]\displaystyle{ c }[/math] — тогда катет [math]\displaystyle{ a }[/math] находится из теоремы Пифагора:

[math]\displaystyle{ a = \sqrt{c^2 - b^2}. }[/math]

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол

Пусть известны катет [math]\displaystyle{ b }[/math] и прилежащий к нему угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math].

Гипотенуза [math]\displaystyle{ c }[/math] находится из соотношения

[math]\displaystyle{ c = \frac {b} {\cos \alpha}. }[/math]

Катет [math]\displaystyle{ a }[/math] может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

[math]\displaystyle{ a = b\ \mathrm{tg}\,\alpha. }[/math]

Острый угол [math]\displaystyle{ \beta }[/math] может быть найден как

[math]\displaystyle{ \beta = 90^\circ - \alpha. }[/math]

Катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет [math]\displaystyle{ b }[/math] и противолежащий ему угол [math]\displaystyle{ \beta }[/math].

Гипотенуза [math]\displaystyle{ c }[/math] находится из соотношения

[math]\displaystyle{ c = \frac {b} {\sin \beta}. }[/math]

Катет [math]\displaystyle{ a }[/math] и второй острый угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол

Пусть известны гипотенуза [math]\displaystyle{ c }[/math] и острый угол [math]\displaystyle{ \beta }[/math].

Острый угол [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] может быть найден как

[math]\displaystyle{ \alpha = 90^\circ - \beta. }[/math]

Катеты определяются из соотношений

[math]\displaystyle{ a = c \sin \alpha = c \cos \beta, }[/math]

[math]\displaystyle{ b = c \sin \beta = c \cos \alpha. }[/math]

Решение сферических треугольников

Сферический треугольник		Стороны сферического треугольника [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] измеряют величиной опирающихся на них центральных углов

Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math] принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов [math]\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma }[/math] зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера и формула половины стороны.

Заданы три стороны

Три стороны

Если даны (в угловых единицах) стороны [math]\displaystyle{ a, b, c }[/math], то углы треугольника определяются из теоремы косинусов:

[math]\displaystyle{ \alpha = \arccos\left(\frac{\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}\right) }[/math],

[math]\displaystyle{ \beta = \arccos\left(\frac{\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}\right) }[/math],

[math]\displaystyle{ \gamma = \arccos\left(\frac{\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}\right) }[/math],

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть заданы стороны [math]\displaystyle{ a, b }[/math] и угол [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] между ними. Сторона [math]\displaystyle{ c }[/math] находится по теореме косинусов:

[math]\displaystyle{ c = \arccos \left(\cos a\cos b + \sin a\sin b\cos\gamma \right) }[/math]

Углы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

[math]\displaystyle{ \alpha = \operatorname{arctg}\ \frac{2\sin a}{\operatorname{tg}(\frac{\gamma}{2}) \sin (b+a) + \operatorname{ctg}(\frac{\gamma}{2})\sin(b-a)}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta = \operatorname{arctg}\ \frac{2\sin b}{\operatorname{tg}(\frac{\gamma}{2}) \sin (a+b) + \operatorname{ctg}(\frac{\gamma}{2})\sin(a-b) }. }[/math]

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними

Пусть заданы стороны [math]\displaystyle{ b, c }[/math] и угол [math]\displaystyle{ \beta }[/math]. Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

[math]\displaystyle{ b \gt \arcsin (\sin c\,\sin\beta). }[/math]

Угол [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] получается из теоремы синусов:

[math]\displaystyle{ \gamma = \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right). }[/math]

Здесь, аналогично плоскому случаю, при [math]\displaystyle{ b\lt c }[/math] получаются два решения: [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] и [math]\displaystyle{ 180^\circ - \gamma }[/math].

Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера:

[math]\displaystyle{ a = 2\operatorname{arctg} \left\{ \operatorname{tg}\left(\frac12(b-c)\right) \frac{\sin \left(\frac12(\beta+\gamma)\right)}{\sin\left(\frac12(\beta-\gamma)\right)} \right\} }[/math],

[math]\displaystyle{ \alpha = 2\operatorname{arcctg} \left\{\operatorname{tg}\left(\frac12(\beta-\gamma)\right) \frac{\sin \left(\frac12(b+c)\right)}{\sin \left(\frac12(b-c)\right)} \right\} }[/math].

Заданы сторона и прилежащие углы

Сторона и прилежащие углы

В этом варианте задана сторона [math]\displaystyle{ c }[/math] и углы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math]. Угол [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] определяется по теореме косинусов:

[math]\displaystyle{ \gamma = \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c -\cos\alpha\cos\beta). }[/math]

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

[math]\displaystyle{ a = \operatorname{arctg}\left\{\frac{2\sin\alpha}{\operatorname{ctg}(c/2) \sin(\beta+\alpha) + \operatorname{tg}(c/2) \sin(\beta-\alpha)}\right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ b = \operatorname{arctg}\left\{\frac{2\sin\beta} {\operatorname{ctg}(c/2) \sin(\alpha+\beta) + \operatorname{tg}(c/2)\sin(\alpha-\beta)}\right\} }[/math]

или, если использовать вычисленный угол [math]\displaystyle{ \gamma }[/math], по теореме косинусов:

[math]\displaystyle{ a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right), }[/math]

[math]\displaystyle{ b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right). }[/math]

Заданы два угла и сторона не между ними

Два угла и сторона не между ними

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона [math]\displaystyle{ a }[/math] и углы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math]. Сторона [math]\displaystyle{ b }[/math] определяется по теореме синусов:

[math]\displaystyle{ b = \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right). }[/math]

Если угол для стороны [math]\displaystyle{ a }[/math] острый и [math]\displaystyle{ \alpha \gt \beta }[/math], существует второе решение:

[math]\displaystyle{ b = \pi - \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right). }[/math]

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

[math]\displaystyle{ c = 2\operatorname{arctg} \left\{ \operatorname{tg}\left(\frac12(a-b)\right) \frac{\sin\left(\frac12(\alpha+\beta)\right)}{\sin\left(\frac12(\alpha-\beta)\right)}\right\}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma = 2\operatorname{arcctg} \left\{\operatorname{tg}\left(\frac12(\alpha-\beta)\right) \frac{\sin \left(\frac12(a+b)\right)}{\sin \left(\frac12(a-b)\right)} \right\}. }[/math]

Заданы три угла

Три угла

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

[math]\displaystyle{ a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right) }[/math],

[math]\displaystyle{ b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right) }[/math],

[math]\displaystyle{ c=\arccos\left(\frac{\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\right) }[/math].

Другой вариант: использование формулы половины угла.

Решение прямоугольных сферических треугольников

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол [math]\displaystyle{ C }[/math]) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношений:

[math]\displaystyle{ \sin a = \sin c \cdot \sin \alpha = \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{ctg} \beta, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sin b = \sin c \cdot \sin \beta = \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} \alpha, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos c = \cos a \cdot \cos b = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \beta, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} a = \sin b \cdot \operatorname{tg} \alpha, }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{tg} b = \operatorname{tg} c \cdot \cos \alpha, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos \alpha = \cos a \cdot \sin \beta = \operatorname{tg} b \cdot \operatorname{ctg} c, }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos \beta = \cos b \cdot \sin \alpha = \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{ctg} c. }[/math]

Вариации и обобщения

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

• Задача Региомонтана: построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол.
• Задача Снеллиуса-Потенота.
• Задача Томаса Финке: найти углы треугольника, если известна сумма двух углов [math]\displaystyle{ \alpha+\beta }[/math] и отношение противолежащих сторон [math]\displaystyle{ a:b }[/math].
• Задача Ньютона: решить треугольник, если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон.

Примеры практического применения

Триангуляция

Определение расстояния с помощью триангуляции

Основная статья: Триангуляция (геодезия)

Чтобы определить расстояние [math]\displaystyle{ d }[/math] от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние [math]\displaystyle{ l }[/math] между которыми известно, и измерить углы [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math] между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника:

[math]\displaystyle{ d = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \,l = \frac{\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta} \,l }[/math]

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние.

Определение высоты горы

Другой пример: требуется измерить высоту [math]\displaystyle{ h }[/math] горы или высокого здания. Известны углы [math]\displaystyle{ \alpha, \beta }[/math] наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии [math]\displaystyle{ l }[/math]. Из формул того же варианта, что и выше, получается:

[math]\displaystyle{ h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \,l = \frac{\operatorname{tg}\alpha\,\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\beta-\operatorname{tg}\alpha} \,l }[/math]

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре:

Точка [math]\displaystyle{ A }[/math]: широта [math]\displaystyle{ \lambda_\mathrm{A}, }[/math] долгота [math]\displaystyle{ L_\mathrm{A}, }[/math]

Точка [math]\displaystyle{ B }[/math]: широта [math]\displaystyle{ \lambda_\mathrm{B}, }[/math] долгота [math]\displaystyle{ L_\mathrm{B}, }[/math]

Для сферического треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math], где [math]\displaystyle{ C }[/math] — северный полюс, известны следующие величины:

[math]\displaystyle{ a = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{B} }[/math]

[math]\displaystyle{ b = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{A} }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma = L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B} }[/math]

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

[math]\displaystyle{ \mathrm{AB} = R \arccos\left\{\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right\} }[/math],

где [math]\displaystyle{ R }[/math] — радиус Земли.

История

Основная статья: История тригонометрии

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке.

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут.

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных.

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов [math]\displaystyle{ \sin n\varphi }[/math], [math]\displaystyle{ \cos n\varphi }[/math] для [math]\displaystyle{ n = 2, 3, 4, 5 }[/math]. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс.

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения.

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10". Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера». Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также

• Признаки подобия треугольников
• Площадь треугольника
• Сферическая тригонометрия
• Сферический треугольник
• Триангуляция
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Литература

Теория и алгоритмы

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия, учебник для 10 класса. — М.: МЦНМО, 2002. — ISBN 5-94057-050-X.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
• Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. — С. 518—557. — 568 с.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948.

История

• Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
• Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
• Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.—Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
• Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.