Теорема тангенсов

Теорема тангенсов — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.

Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или, наоборот, два угла и одна сторона.

История

Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201—1274), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.

Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.

Формулировка

Рис. 1. Треугольник

На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что

[math]\displaystyle{ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\mathrm{tg}\frac{\alpha-\beta}{2}}{\mathrm{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}}. }[/math]

Доказательство

Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:

[math]\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}. }[/math]

Пусть

[math]\displaystyle{ d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}, }[/math]

откуда

[math]\displaystyle{ a = d \sin \alpha }[/math]

[math]\displaystyle{ b = d \sin \beta. }[/math]

Отсюда следует, что

[math]\displaystyle{ \frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}. }[/math]

Используя известное тригонометрическое тождество

[math]\displaystyle{ \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2} , \; }[/math]

получаем:

[math]\displaystyle{ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}= \frac{2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} \cos \frac{\alpha+ \beta}{2}}{2\sin \frac {\alpha+ \beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}} = \frac{\mathrm{tg} \frac{\alpha-\beta}{2}}{\mathrm{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}}. \qquad\blacksquare }[/math]

Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество

[math]\displaystyle{ \mathrm{tg} \frac{\alpha \pm \beta}{2} = \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} }[/math].

Другое доказательство с использованием формул Мольвейде

• Формулы Мольвейде имеют следующий вид:

[math]\displaystyle{ \frac{a+b}{c}=\frac{\operatorname{cos}\frac{A-B}{2}}{\operatorname{sin}\frac{C}{2}}; }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{a-b}{c}=\frac{\operatorname{sin}\frac{A-B}{2}}{\operatorname{cos}\frac{C}{2}}. }[/math]

где [math]\displaystyle{ A, \;B,\; C }[/math] — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и [math]\displaystyle{ a, \; b, \; c }[/math] — длины сторон соответственно между вершинами [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] и [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math].

• Деля порознь правые и левые части двух последних равенств и приравнивая два полученных результата друг другу, имеем

[math]\displaystyle{ \frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{ctg}\frac{C}{2}}{\mathrm{tg}\frac{A-B}{2}}. }[/math]

• С учетом того, что [math]\displaystyle{ \mathrm{ctg}\frac{C}{2}= \mathrm{ctg} \frac{\pi -A-B}{2}=\mathrm {tg} \frac{A+B}{2} }[/math], окончательно имеем:

[math]\displaystyle{ \frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{tg}\frac{A+B}{2}}{\mathrm{tg}\frac{A-B}{2}}, }[/math]

что и требовалось доказать.

См. также

• Решение треугольников
• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формула половины стороны
• Формулы Мольвейде