Перейти к содержанию

Уравнение Клейна — Гордона

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Квантовая механика

Уравнение Клейна — Гордона (иногда Клейна — Гордона — Фока, Клейна — Фока[1][2], Шрёдингера — Гордона[3]) — релятивистская версия уравнения Шрёдингера:

[math]\displaystyle{ \partial^2_x \psi + \partial^2_y \psi + \partial^2_z \psi - {1\over c^2}\partial^2_t \psi - {m^2 c^2\over \hbar^2} \psi = 0 }[/math],

или (с использованием единиц, где [math]\displaystyle{ \hbar=c=1 }[/math], [math]\displaystyle{ \square\ }[/math] — оператор Д’Аламбера):

[math]\displaystyle{ (\square\ - m^2) \psi = 0 }[/math].

Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (таких как поле Хиггса). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами[4]. Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

  • в одномерном случае — натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
  • макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
  • более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоёв.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.

Положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой [math]\displaystyle{ \pm mc^2 / \hbar }[/math], что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой [math]\displaystyle{ m }[/math] частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

История

Уравнение, названное именами Оскара Клейна и Вальтера Гордона, первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить в это уравнение спин электрона. Шрёдингер сделал упрощение уравнения и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок[5][6] написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости, и независимо вывел это уравнение. И Клейн[7] (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Статья Гордона (начало 1926) была посвящена эффекту Комптона[8].

Вывод

(Здесь использованы единицы, где [math]\displaystyle{ \hbar=c=1 }[/math]).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:

[math]\displaystyle{ \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m} \psi = i \partial_t \psi }[/math],

где [math]\displaystyle{ \hat{\mathbf{p}} = -i\mathbf{\nabla} }[/math] — оператор импульса; оператор же [math]\displaystyle{ \hat{E} = i \partial_t }[/math] будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО):

[math]\displaystyle{ p^2 + m^2 = E^2 }[/math].

Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии[9], получаем:

[math]\displaystyle{ ((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi }[/math],

что в ковариантной форме запишется так:

[math]\displaystyle{ (\square\ - m^2) \psi = 0 }[/math],

где [math]\displaystyle{ \square\ = \nabla^2 - \partial_t^2 }[/math] — оператор Д’Аламбера.

Решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

[math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi }[/math]

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

[math]\displaystyle{ \psi(\mathbf{r},\; t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} }[/math],

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на [math]\displaystyle{ \mathbf k }[/math] и [math]\displaystyle{ \omega }[/math]:

[math]\displaystyle{ -k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2} }[/math].

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:

[math]\displaystyle{ \langle\mathbf{p}\rangle= \langle \psi |\hat{\mathbf{p}}|\psi\rangle = \langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k} }[/math],
[math]\displaystyle{ \langle E\rangle= \langle \psi |\hat{E}|\psi\rangle = \langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega }[/math].

Найденное соотношение [math]\displaystyle{ k }[/math] и [math]\displaystyle{ \omega }[/math] тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

[math]\displaystyle{ \langle E^2 \rangle=m^2c^4+\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2 }[/math].

Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить [math]\displaystyle{ m=0 }[/math] в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

[math]\displaystyle{ \langle E^2 \rangle=\langle \mathbf{p}^2 \rangle c^2 }[/math].

Использовав формулу групповой скорости [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_{gr} = \partial \omega / \partial \mathbf{k}\ }[/math], нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе того же результата можно добиться, просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой; но в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде[10] (очевиден только квадрат гамильтониана).

Примечания

  1. Демков Ю. Н. Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете Архивная копия от 17 мая 2014 на Wayback Machine.
  2. Фаддеев Л. Д. Новая жизнь полной интегрируемости // УФН. — 2013. — Том 183. — № 5. — C. 490.
  3. Г. Вентцель Введение в квантовую теорию волновых полей. — М., Л.: ОГИЗ, 1947. — С. 32
  4. см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — § 4, 6.
  5. Vladimir Fock Архивная копия от 2 января 2015 на Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
  6. Vladimir Fock // Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226.
  7. Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie Архивная копия от 14 октября 2017 на Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 37:895-906. — 1926.
  8. Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie Архивная копия от 10 июня 2017 на Wayback Machine (Эффект Комптона в теории Шредингера) // Zeitschrift für Physik. — v. 40. — iss. 1. — pp. 117—133 (1926). — DOI 10.1007/BF01390840.
  9. Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
    [math]\displaystyle{ ((-i\mathbf{\nabla})^2 + m^2) \psi= i^2 \partial_t^2 \psi }[/math],
    то есть найти таким образом гамильтониан; тогда в правой части осталась бы первая производная по времени, и аналогия с уравнением Шрёдингера была бы ещё более непосредственной и прямой. Однако утверждается, что для случая скалярного (или векторного) поля [math]\displaystyle{ \psi }[/math] невозможно проделать это так, чтобы получившийся гамильтониан был локальным. Для случая же биспинорного [math]\displaystyle{ \psi }[/math] Дираку удалось получить таким образом локальный (и даже с производными лишь первого порядка) гамильтониан, получив этим самым так называемое уравнение Дирака (все решения которого в пространстве Минковского, кстати, являются и решениями уравнения Клейна — Гордона, но не обратно; а в искривлённом пространстве различие уравнений становится явным).
  10. см. примечание 2.

См. также

Ссылки