Уравнение Линдблада

Уравнение Линдблада (реже — Уравнение Горини — Коссаковского — Сударшана — Линдблада, англ. GKSL equation) — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную (диссипативную, негамильтонову) эволюцию матрицы плотности [math]\displaystyle{ \rho }[/math]. Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Витторио Горини, Анжеем Коссаковским, Джорджем Сударшаном и Йёраном Линдбладом.

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

[math]\displaystyle{ \frac d{dt} \rho = \frac 1{i\hbar} [H,\rho ] + \frac 1{2\hbar} \sum^\infty_{k=1} \big([V_k \rho, V^\dagger_k] +[V_k, \rho V^\dagger_k] \big), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — матрица плотности, [math]\displaystyle{ H }[/math] — оператор Гамильтона, [math]\displaystyle{ V_k }[/math] — некие операторы. Если операторы [math]\displaystyle{ V_k }[/math] равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой. Это уравнение имеет вид:

[math]\displaystyle{ \frac d{dt} A = -\frac 1{i\hbar} [H, A] + \frac 1{2\hbar} \sum^\infty_{k=1} \big(V^\dagger_k [A, V_k] + [V^\dagger_k, A] V_k \big), }[/math]

где [math]\displaystyle{ A }[/math] — квантовая наблюдаемая. Если операторы [math]\displaystyle{ V_k }[/math] равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой [math]\displaystyle{ A }[/math] переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является модель случайных столкновений, в которой операторы [math]\displaystyle{ V_k }[/math] имеют вид: [math]\displaystyle{ V_{kl} = \hbar\gamma\sqrt{\tilde\rho_{kk}} |k\rangle \langle l| }[/math] (для удобства записи матричный индекс [math]\displaystyle{ \ k }[/math] заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линдблада к виду:

[math]\displaystyle{ \frac d{dt} \rho = \frac 1{i\hbar} [H,\rho ] + \gamma(\tilde\rho - \rho), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \tilde\rho }[/math] — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами [math]\displaystyle{ \tilde\rho_{kk} }[/math], такими, что [math]\displaystyle{ \operatorname{Tr}\tilde\rho = 1 }[/math], описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.

Литература

• Isar A., Sandulescu A., Scutaru H., Stefanescu E., Scheid W. Open quantum systems // Int. J. Mod. Phys. — 1994. — № 3. — С. 635—714.
• Accardi L., Lu Y. G., Volovich I. V. Quantum Theory and Its Stochastic Limit. — New York: Springer Verlag, 2002. (недоступная ссылка)
• Alicki R., Lendi K. Quantum Dynamical Semigroups and Applications. — Berlin: Springer Verlag, 1987.
• Attal S., Joye A., Pillet C.-A. Open Quantum Systems: The Markovian Approach. — Springer, 2006.
• Ingarden R. S., Kossakowski A., Ohya M. Information Dynamics and Open Systems: Classical and Quantum Approach. — New York: Springer Verlag, 1997.
• Lindblad G. Non-Equilibrium Entropy and Irreversibility. Delta Reidel,. — Dordrecht, 1983. — ISBN 1-40-200320-X.
• Tarasov V. E. Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. — Amsterdam, Boston, London, New York: Elsevier Science, 2008.
• Weiss U. Quantum Dissipative Systems. — Singapore: World Scientific, 1993.
• Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 192 с. — ISBN 5-93972-207-5.
• Квантовые случайные процессы и открытые системы / Сб. статей 1982-1984. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 223 с.
• Бройер Х.- П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем. — М.: РХД, 2010. — 223 с. Архивная копия от 19 февраля 2010 на Wayback Machine