Перейти к содержанию

Теорема Эренфеста

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Квантовая механика

Теоре́ма Эренфе́ста (Уравнения Эренфеста) — утверждение о виде уравнений квантовой механики для средних значений наблюдаемых величин гамильтоновых систем. Эти уравнения впервые получены Паулем Эренфестом в 1927 году.

Формулировка теоремы[1]:

В квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующей на неё, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, то есть при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются значения этих величин в классической механике.

Полная аналогия имеет место только при условии выполнения ряда требований[2][3].

Уравнение Эренфеста для среднего значения квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle , }[/math]

где [math]\displaystyle{ \ A }[/math] — квантовая наблюдаемая, [math]\displaystyle{ \ H }[/math] — оператор Гамильтона системы, угловыми скобками обозначено взятие среднего значения, а квадратные скобки обозначают коммутатор. Это уравнение может быть выведено из уравнения Гейзенберга.

В частном случае, средние значения координаты [math]\displaystyle{ \ q }[/math] и импульса [math]\displaystyle{ \ p }[/math] частицы описываются уравнениями

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}\langle q\rangle = \frac{1}{m}\langle p\rangle , }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}\langle p\rangle = - \left\langle \frac{\partial U}{\partial q}\right\rangle , }[/math]

где [math]\displaystyle{ \ m }[/math] — масса частицы, [math]\displaystyle{ \ U(q) }[/math] — оператор потенциальной энергии частицы.

Уравнения Эренфеста для средних координат и импульсов являются квантовыми аналогами системы канонических уравнений Гамильтона и задают квантовое обобщение второго закона Ньютона.

Примечания

  1. Матвеев А. Н. Атомная физика, — М.: Высшая школа, 1989. стр.125.
  2. Эренфеста теоремы // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 636-637. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.
  3. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 8-ое изд. — М.: URSS, 2014. — 664 с (параграф 34, С. 136—138)

Литература