Перейти к содержанию

Уравнение Пуассона

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Уравне́ние Пуассо́наэллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

[math]\displaystyle{ \Delta \varphi = f, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Delta }[/math]оператор Лапласа, или лапласиан, а [math]\displaystyle{ f }[/math]вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

[math]\displaystyle{ \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z). }[/math]

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме [math]\displaystyle{ \nabla^2 }[/math] и уравнение Пуассона принимает вид:

[math]\displaystyle{ {\nabla}^2 \varphi = f. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ f }[/math] стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

[math]\displaystyle{ \Delta \varphi = 0. }[/math]

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Электростатика

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Нахождение [math]\displaystyle{ \Phi(r) }[/math] для данного [math]\displaystyle{ f }[/math] — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

[math]\displaystyle{ {\nabla}^2 \phi = - {\rho \over \varepsilon_0}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \phi }[/math] — электростатический потенциал (в вольтах), [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — объёмная плотность зарядакулонах на кубический метр), а [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math]диэлектрическая проницаемость вакуумафарадах на метр).

Оно выводится из закона Гаусса ([math]\displaystyle{ \mathrm{div}\,\mathbf{E} \equiv \nabla \cdot \mathbf{E} = {\rho \over \varepsilon_0}) }[/math] и определения статического потенциала ([math]\displaystyle{ \mathbf{E} = -\nabla \phi }[/math])[1]:

[math]\displaystyle{ {\rho \over \varepsilon_0} = \nabla \cdot \mathbf{E} = \nabla \cdot ( - \nabla \phi ) = - \nabla \cdot \nabla \phi = - \nabla^2 \phi. }[/math]

В единицах системы СГС:

[math]\displaystyle{ {\nabla}^2 \phi = - {4 \pi \rho}. }[/math]

В области пространства, где нет непарной плотности заряда:

[math]\displaystyle{ \rho = 0, }[/math]

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

[math]\displaystyle{ {\nabla}^2 \phi = 0. }[/math]

Потенциал точечного заряда

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

[math]\displaystyle{ \Phi_q = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ q \over r } }[/math]

— то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при [math]\displaystyle{ q=1 }[/math]) функция Грина

[math]\displaystyle{ \Phi_1 (x,y,z) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ 1 \over r } }[/math]

для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

[math]\displaystyle{ \Delta \Phi = - { 1 \over \varepsilon_0 }\delta(x)\delta(y)\delta(z)\ , }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta(x) }[/math] - обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а [math]\displaystyle{ r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}. }[/math]

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

[math]\displaystyle{ \Phi (x,y,z) = \int \rho(\xi,\eta,\zeta) \Phi_1(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) d\xi d\eta d\zeta = }[/math]
[math]\displaystyle{ = \int { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } { \rho(\xi,\eta,\zeta) \over \sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta. }[/math]
  • Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.
  • Физический смысл последней формулы - применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов [math]\displaystyle{ \rho dV }[/math].

Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда [math]\displaystyle{ \rho(r) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ Q }[/math] — общий заряд, тогда решение [math]\displaystyle{ \Phi(r) }[/math] уравнения Пуассона:

[math]\displaystyle{ {\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \varepsilon_0 } }[/math]

даётся:

[math]\displaystyle{ \Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathrm{erf}(x) }[/math]функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением [math]\displaystyle{ {\nabla}^2 \Phi }[/math]. Заметьте, что для [math]\displaystyle{ r }[/math], много больших, чем [math]\displaystyle{ \sigma }[/math], [math]\displaystyle{ \mathrm{erf}(x) }[/math] приближается к единице, и потенциал [math]\displaystyle{ \Phi(r) }[/math] приближается к потенциалу точечного заряда [math]\displaystyle{ { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } {Q \over r} }[/math], как и можно было ожидать.

См. также

Примечания

  1. А. М. Макаров, Л. А. Лунева. Основы электромагнетизма : Том 3 курса системы открытого образования "Физика в техническом университете" : [арх. 30 июля 2020]. — МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.

Ссылки

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9