Гамильтониан (квантовая механика)

Эта статья — об операторе Гамильтона в квантовой механике. О функции Гамильтона в классической механике см. Функция Гамильтона.

Гамильтониа́н ([math]\displaystyle{ \hat H }[/math] или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.

Уравнение Шрёдингера

Основная статья: Уравнение Шрёдингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если [math]\displaystyle{ \left| \psi (t) \right\rangle }[/math] — состояние системы в момент времени t, то

[math]\displaystyle{ H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle. }[/math]

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

[math]\displaystyle{ \left| \psi (t) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle. }[/math]

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизма, оператор

[math]\displaystyle{ U = e^{-iHt/\hbar} }[/math]

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Выражения для гамильтониана в координатном представлении

Свободная частица

Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

[math]\displaystyle{ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} }[/math]

и для трёх измерений:

[math]\displaystyle{ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta }[/math]

Потенциальная яма

Для частицы в постоянном потенциале V = V₀ (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:

[math]\displaystyle{ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_0 }[/math]

В трёх измерениях:

[math]\displaystyle{ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_0 }[/math]

Простой гармонический осциллятор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как

[math]\displaystyle{ V = \frac{k}{2}x^2 = \frac{m\omega^2}{2}x^2 , }[/math]

где угловая частота [math]\displaystyle{ \omega }[/math] коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению

[math]\displaystyle{ \omega^2 = \frac{k}{m} , }[/math]

поэтому гамильтониан имеет вид

[math]\displaystyle{ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 . }[/math]

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

[math]\displaystyle{ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{m\omega^2}{2} r^2 , }[/math]

где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:

[math]\displaystyle{ r^2 = \mathbf{r}\cdot\mathbf{r} = |\mathbf{r}|^2 = x^2+y^2+z^2 }[/math]

Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) + \frac{m\omega^2}{2} (x^2+y^2+z^2) \\ = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2\right) + \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{m\omega^2}{2}y^2 \right ) + \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\frac{m\omega^2}{2}z^2 \right) \\ \end{align} }[/math]

В квантовой теории поля

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

Ссылки

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Физматлит, 2008. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — 3000 экз. — ISBN 978-5-9221-0530-9.