Математические основы квантовой механики
Математические основы квантовой механики — принятый в квантовой механике способ математического моделирования квантовомеханических явлений, позволяющий вычислять численные значения наблюдаемых в квантовой механике величин. Были созданы Луи де-Бройлем[1] (открытие волн материи), В. Гейзенбергом[2] (создание матричной механики, открытие принципа неопределённости), Э. Шрёдингером[3] (уравнение Шрёдингера), Н. Бором[4] (формулировка принципа дополнительности). Завершил создание математических основ квантовой механики и придал им современную форму П. А. М. Дирак[5][6]. Отличительным признаком математических уравнений квантовой механики является наличие в них символа постоянной Планка.
Наблюдаемые величины и векторы состояний
В качестве основных характеристик для описания физических систем в квантовой механике используются наблюдаемые величины и состояния.
Наблюдаемые величины моделируются линейными самосопряжёнными операторами в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве (пространстве состояний)[7]. Каждой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор или матрица. Например, радиусу-вектору частицы [math]\displaystyle{ x }[/math] соответствует оператор умножения [math]\displaystyle{ x }[/math], импульсу частицы соответствует оператор [math]\displaystyle{ \hat{p} = - i \hbar \nabla }[/math], моменту импульса соответствует оператор
- [math]\displaystyle{ \hbar \hat{L} = \hat{x} \times \hat{p} = - i \hbar \times \nabla. }[/math]
Состояния моделируются классами нормированных элементов этого пространства (векторами состояний), отличающимися друг от друга только комплексным множителем, с единичным модулем (нормированные волновые функции).[7]
Волновые функции удовлетворяют квантовому принципу суперпозиции: если два возможных состояния изображаются волновыми функциями [math]\displaystyle{ \psi_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi_{2} }[/math], то существует и третье состояние, изображаемое волновой функцией
- [math]\displaystyle{ \psi = c_{1} \psi_{1} + c_{2} \psi_{2}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ c_{1} }[/math] и [math]\displaystyle{ c_{2} }[/math] -произвольные амплитуды[8].
Результатом точного измерения физической величины [math]\displaystyle{ A }[/math] могут быть только собственные значения этого оператора [math]\displaystyle{ \widehat{A} }[/math].[7]
Математическое ожидание [math]\displaystyle{ \overline{A} }[/math] значений величины [math]\displaystyle{ A }[/math] в состоянии [math]\displaystyle{ \psi }[/math] вычисляется как [math]\displaystyle{ \overline{A} = (\psi, \widehat{A}\psi) }[/math]. Здесь круглые скобки означают скалярное произведение векторов (в матричном представлении — диагональный матричный элемент).[7]
Векторы состояний [math]\displaystyle{ \psi_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi_2 }[/math] описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \psi_2=c\psi_1 , }[/math] где [math]\displaystyle{ c }[/math] — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор[9]. Распределение вероятности возможных значений наблюдаемой величины [math]\displaystyle{ A }[/math] в состоянии [math]\displaystyle{ \psi }[/math] задаются мерой[10]:
- [math]\displaystyle{ dm_{\widehat{A}, \psi}(a) = d(E_{a}\psi, \psi), }[/math]
где [math]\displaystyle{ \widehat{A} }[/math] — самосопряжённый оператор, отвечающий наблюдаемой величине [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — вектор состояния, [math]\displaystyle{ E_{a} }[/math] — спектральная функция оператора [math]\displaystyle{ \widehat{A} }[/math], круглые скобки означают скалярное произведение векторов. Наблюдаемые величины и векторы состояния можно подвергнуть произвольному унитарному преобразованию
- [math]\displaystyle{ \psi \rightarrow U \psi, A \rightarrow UAU^{-1}. }[/math]
В этом случае любая имеющий смысл физическая величина [math]\displaystyle{ (A\psi, \psi) }[/math] не изменяется. Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).
Полный набор совместно наблюдаемых величин
Совместно наблюдаемыми величинами называются величины, которые можно одновременно измерить. Совокупность операторов [math]\displaystyle{ A_{i}, i=1,...k }[/math] образует полный набор совместно наблюдаемых величин, если выполняются условия коммутативности ([math]\displaystyle{ \left [ A_i, A_j \right ] = 0 }[/math] для всех [math]\displaystyle{ i, j = 1, ...k }[/math]), взаимной независимости (ни один из операторов [math]\displaystyle{ A_{i} }[/math] не может быть представлен в виде функции от остальных), полноты (не существует оператора, коммутирующего со всеми [math]\displaystyle{ A_{i} }[/math] и не являющегося функцией от них). Для данного набора величин пространство состояний может быть реализовано как пространство функций [math]\displaystyle{ \psi(a_1,...a_k) }[/math] со скалярным произведением:
- [math]\displaystyle{ (\psi_1, \psi_2)=\int \psi_1(a_1,...a_k)\overline{\psi_2(a_1,...a_k)}d \mu(a_1,...a_k). }[/math]
Операторы [math]\displaystyle{ A_{i} }[/math] являются операторами умножения на соответствующие переменные:
- [math]\displaystyle{ A_i \psi (a_1,...a_k) = a_i \psi (a_1,...a_k). }[/math]
Совместное распределение значений наблюдаемых:
- [math]\displaystyle{ P(a_1,...a_k) = \left | \psi (a_1,...a_k) \right |^2 d \mu(a_1,...a_k). }[/math]
Пространство состояний и вектор наблюдаемых для частицы
В случае частицы в трёхмерном пространстве [math]\displaystyle{ x = (x_1, x_2, x_3) }[/math] наблюдаемыми величинами являются координаты [math]\displaystyle{ Q_{1}, Q_{2}, Q_{3} }[/math] и импульсы [math]\displaystyle{ P_{1}, P_{2}, P_{3} }[/math].
В представлении Шрёдингера (приспособленном к координатам) пространство состояний образуют квадратично интегрируемые функции [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math] со скалярным произведением:
- [math]\displaystyle{ (\psi_1, \psi_2) = \int \psi_1(x) \overline{\psi_2(x)} dx. }[/math]
Операторы координат представляют собой операторы умножения:
- [math]\displaystyle{ \widehat{x_{j}}\psi(x) = x_{j}\psi(x), j=1, 2, 3. }[/math]
Операторы импульсов представляют собой операторы дифференцирования:
- [math]\displaystyle{ \widehat{p_{j}}\psi(x) = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x_{j}} \psi(x), j=1, 2, 3. }[/math]
Соотношения коммутации
Операторы декартовых координат [math]\displaystyle{ \widehat{x_i} }[/math] и операторы импульсов [math]\displaystyle{ \widehat{p_i} }[/math] удовлетворяют соотношениям коммутации:
- [math]\displaystyle{ \left [ \widehat{p_i}, \widehat{x_k} \right ] = -i\hbar \delta_{ik}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left [ \widehat{p_i}, \widehat{p_k} \right ] = 0, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left [ \widehat{x_i}, \widehat{x_k} \right ] = 0. }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — постоянная Планка.[7]
Уравнения Гамильтона
Матричные элементы операторов декартовых координат [math]\displaystyle{ \widehat{x_i} }[/math] и операторов импульсов [math]\displaystyle{ \widehat{p_i} }[/math] удовлетворяют уравнениям, аналогичным уравнениям Гамильтона в классической механике:
- [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}(f, \widehat{p_i}g) = - (f, \frac{\partial \widehat{H}}{\partial \widehat{x_i}}g), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \frac{d}{dt}(f, \widehat{x_i}g) = (f, \frac{\partial \widehat{H}}{\partial \widehat{p_i}}g). }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ \widehat{H} }[/math] — оператор, соответствующий функции Гамильтона в классической механике.[7]
Уравнение Шрёдингера
Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шрёдингера
- [math]\displaystyle{ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}= \hat{H}\psi , }[/math]
где [math]\displaystyle{ \hat{H} }[/math] — гамильтониан:
- [math]\displaystyle{ {\hat{H}}=-{\frac{{\hbar}^2}{2m}}{ \left( {\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}x}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}y}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}z}^2}} \right) }+{\hat E_{\rm{pot}}} . }[/math]
Стационарные, то есть не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шрёдингера:
- [math]\displaystyle{ {{\hat{H}}{\psi}}={E{\psi}} . }[/math]
При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно[11]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.
Принцип тождественности
В любой паре одинаковых элементарных частиц можно поменять местами элементарные частицы без возникновения физически нового состояния. Математически принцип тождественности означает условие на собственные значения [math]\displaystyle{ \lambda = \pm 1 }[/math] оператора перестановки [math]\displaystyle{ P_{kj} }[/math]: [math]\displaystyle{ P_{kj} \psi = \lambda \psi }[/math][12].
Состояния с [math]\displaystyle{ \lambda = -1 }[/math] являются антисимметричными (фермионы с полуцелым спином), c [math]\displaystyle{ \lambda = +1 }[/math] являются симметричными (бозоны с целым спином).
См. также
Примечания
- ↑ L. de Brogile, Ann. d. phys. (10), 3, 22, 1925
- ↑ W. Heisenberg, Z. S. f. Phys. 33, 879, 1925
- ↑ E. Schrodinger, Ann. d. phys. (4), 79, 361, 489, 734 1926
- ↑ N. Bohr, Naturwissensch. 16, 245, 1928
- ↑ Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 409 с.
- ↑ Кузнецов Б. Г. Основные идеи квантовой механики. // Очерки развития основных физических идей. — Отв. ред. Григорьян А. Т., Полак Л. С. — М.: АН СССР, 1959. — Тираж 5 000 экз. — С. 390—421
- ↑ 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 Елютин, 1976, с. 25.
- ↑ Блохинцев, 1963, с. 577.
- ↑ Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
- ↑ Крейн C. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972.
- ↑ Хотя это и не обязательно.
- ↑ Блохинцев, 1963, с. 579.
Литература
- Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 409 с.
- Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969. 424с.
- Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
- Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512с.
- Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, М.: Наука 1964.
- Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.
- Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980. 320с.
- Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. Москва, Ижевск: РХД 2003. 188с.
- Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория. Москва: УРСС 1999. 214с.
- Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика с задачами. — М.: Наука, 1976. — 336 с.
- Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Высшая школа, 1963. — 520 с.
- Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. — М.: Мир, 1965. — 220 с.