Экранированное уравнение Пуассона

В математике экранированное уравнение Пуассона — это дифференциальное уравнение в частных производных вида:

[math]\displaystyle{ \left[ \nabla^2 - \lambda^2 \right] u(\mathbf{r}) = - f(\mathbf{r}), }[/math]

где [math]\displaystyle{ {\nabla}^2 }[/math] — оператор Лапласа, [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — константа, [math]\displaystyle{ f }[/math] — произвольная функция позиции (известна как «функция источника»), а [math]\displaystyle{ u }[/math] — искомая функция. Экранированное уравнение Пуассона часто используется в физике, включая теорию Юкавы о мезонном экранировании и экранировании электрического поля в плазме.

Когда [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] равна нулю, уравнение превращается в уравнение Пуассона. Следовательно, когда [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] очень мала, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое является суперпозицией [math]\displaystyle{ 1/r }[/math] функций, статистически взвешенной функцией источника [math]\displaystyle{ f }[/math]:

[math]\displaystyle{ u(\mathbf{r})_{(Poisson)} = \int d^3r' \frac{f(\mathbf{r}')}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}. }[/math]

С другой стороны, когда [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] очень велика, [math]\displaystyle{ u }[/math] приближается к значению [math]\displaystyle{ f/\lambda^2 }[/math], которое в свою очередь приближается к нулю, когда [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] уходит на бесконечность. Как мы увидим, решение для средних значений [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] ведёт себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) [math]\displaystyle{ 1/r }[/math] функций, причём [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] будет являться силой экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона может быть решено для общего [math]\displaystyle{ f }[/math] с использованием функции Грина. Функция Грина [math]\displaystyle{ G }[/math] определяется как

[math]\displaystyle{ \left[ \nabla^2 - \lambda^2 \right] G(\mathbf{r}) = - \delta^3(\mathbf{r}). }[/math]

Допустив, что [math]\displaystyle{ u }[/math] и её производные пренебрежимо малы на больших [math]\displaystyle{ r }[/math], мы можем выполнить преобразование Фурье в пространственных координатах:

[math]\displaystyle{ G(\mathbf{k}) = \int d^3r \; G(\mathbf{r}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} }[/math]

где интеграл берётся по всему пространству. Затем можно показать, что

[math]\displaystyle{ \left[ k^2 + \lambda^2 \right] G(\mathbf{k}) = 1. }[/math]

Следовательно, функция Грина на [math]\displaystyle{ r }[/math] даётся обратным преобразованием Фурье:

[math]\displaystyle{ G(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \; \int d^3\!k \; \frac{e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}}{k^2 + \lambda^2}. }[/math]

Этот интеграл может быть оценён с использованием сферических координат в [math]\displaystyle{ k }[/math]-пространстве. Интегрирование по угловым координатам несложно, и интеграл упрощается — теперь интегрировать нужно только по одной радиальной координате [math]\displaystyle{ k }[/math]:

[math]\displaystyle{ G(\mathbf{r}) = \frac{1}{2\pi^2 r} \; \int\limits_0^{\infty} dk \; \frac{k \, \sin kr }{k^2 + \lambda^2}. }[/math]

Этот интеграл может быть оценён путём интегрирования по контуру (теории вычетов). В итоге получаем:

[math]\displaystyle{ G(\mathbf{r}) = \frac{e^{- |\lambda| r}}{4\pi r}. }[/math]

Итоговое решение всей задачи:

[math]\displaystyle{ u(\mathbf{r}) = \int d^3r' G(\mathbf{r} - \mathbf{r}') f(\mathbf{r}') = \int d^3r' \frac{e^{- |\lambda| |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} f(\mathbf{r}'). }[/math]

Как было указано выше, это суперпозиция экранированных [math]\displaystyle{ 1/r }[/math] функций, статистически взвешенных функцией источника [math]\displaystyle{ f }[/math], причём [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] является коэффициентом экранирования. Экранированная [math]\displaystyle{ 1/r }[/math] функция часто появляется в физике как экранированный кулоновский потенциал, также известен и «потенциал Юкавы».

См. также

• Взаимодействие Юкавы