Уравнение диффузии

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоёмкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

• В задачах диффузии или теплопроводности в жидкостях и газах, находящихся в движении, вместо уравнения диффузии применяется уравнение переноса, расширяющее уравнение диффузии на тот случай, когда пренебрежением макроскопическим движением недопустимо.

• Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера, отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\varphi,\mathbf{r}) \ \nabla\varphi(\mathbf{r},t) \big], }[/math]

где φ(r, t) — плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и D(φ, r) — обобщённый коэффициент диффузии для плотности φ в точке r; ∇ — оператор набла. Если коэффициент диффузии зависит от плотности — уравнение нелинейно, в противном случае — линейно.

Если D — симметричный положительно определённый оператор, уравнение описывает анизотропную диффузию:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\varphi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left[D_{ij}(\varphi,\mathbf{r})\frac{\partial \varphi(\mathbf{r},t)}{\partial x_j}\right]. }[/math]

Если D постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\phi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\mathbf{r},t), }[/math]

также называемому уравнением теплопроводности.

История происхождения

Дифференциальное уравнение в частных производных было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году.

Нестационарное уравнение

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение. Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности.

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) [math]\displaystyle{ D }[/math] уравнение имеет вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=\frac{\partial}{\partial x}D\frac{\partial}{\partial x}{c(x,\;t)}+f(x,\;t). }[/math]

При постоянном [math]\displaystyle{ D }[/math] приобретает вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t}c(x,\;t)=D\frac{\partial^2}{\partial x^2}{c(x,\;t)}+f(x,\;t), }[/math]

где [math]\displaystyle{ c(x,\;t) }[/math] — концентрация диффундирующего вещества, a [math]\displaystyle{ f(x,\;t) }[/math] — функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r},\;t))+f(\vec{r},\;t), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \nabla=(\partial_x,\;\partial_y,\;\partial_z) }[/math] — оператор набла, а [math]\displaystyle{ (\;,\;) }[/math] — скалярное произведение. Оно также может быть записано как

[math]\displaystyle{ \partial_t c=\mathbf{div}\,(D\,\mathbf{grad}\,c)+f, }[/math]

а при постоянном [math]\displaystyle{ D }[/math] приобретает вид:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t} c(\vec{r},\;t)=D\Delta c(\vec{r},\;t)+f(\vec{r},\;t), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Delta=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} }[/math] — оператор Лапласа.

n-мерный случай

[math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный случай — прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерные версии соответствующих операторов:

[math]\displaystyle{ \nabla=(\partial_1,\;\partial_2,\;\ldots,\;\partial_n), }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta=\nabla^2=\partial_1^2+\partial_2^2+\ldots+\partial_n^2. }[/math]

Это касается и двумерного случая [math]\displaystyle{ n=2 }[/math].

Мотивация

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

[math]\displaystyle{ \Phi=-\varkappa\frac{\partial c}{\partial x} }[/math] (одномерный случай),

[math]\displaystyle{ \mathbf j=-\varkappa\nabla c }[/math] (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

[math]\displaystyle{ \frac{\partial c}{\partial t}+\frac{\partial\Phi}{\partial x}=0 }[/math] (одномерный случай),

[math]\displaystyle{ \frac{\partial c}{\partial t}+\mathrm{div}\,\mathbf j=0 }[/math] (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

• Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).
• Также предполагается, что на поток диффундирующего вещества (примеси) не действуют никакие внешние силы, в том числе сила тяжести (пассивная примесь).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции [math]\displaystyle{ c }[/math] в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае — с ограниченной по времени памятью).

Решение

В одномерном случае фундаментальное решение однородного уравнения с постоянным — не зависящим от [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ t }[/math] — [math]\displaystyle{ D }[/math] (при начальном условии, выражаемом дельта-функцией [math]\displaystyle{ c_f(x,\;0)=\delta(x) }[/math] и граничном условии [math]\displaystyle{ c_f(\infty,\;t)=0 }[/math]) есть

[math]\displaystyle{ c_f(x,\;t)=\sqrt{\frac{1}{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right). }[/math]

В этом случае [math]\displaystyle{ c_f(x,\;t) }[/math] можно интерпретировать как плотность вероятности того, что одна частица, находившаяся в начальный момент времени в исходном пункте, через время [math]\displaystyle{ t }[/math] перейдёт в пункт с координатой [math]\displaystyle{ x }[/math]. То же самое — с точностью до множителя, равного количеству диффундирующих частиц — относится к их концентрации, при условии отсутствия или пренебрежимости взаимодействия диффундирующих частиц между собой. Тогда (при таких начальных условиях) средний квадрат удаления диффундирующих частиц (или соответствующая характеристика распределения температуры) от начальной точки

[math]\displaystyle{ \langle x^2\rangle=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2 c_f(x,\;t)\,dx=2Dt. }[/math]

В случае произвольного начального распределения [math]\displaystyle{ c(x,\;0) }[/math] общее решение уравнения диффузии представляется в интегральном виде как свёртка:

[math]\displaystyle{ c(x,\;t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)c_f(x-x',\;t)\,dx'=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}c(x',\;0)\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left(-\frac{(x-x')^2}{4Dt}\right)\,dx'. }[/math]

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше — и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности, относящееся к классу эллиптических уравнений. Его общий вид:

[math]\displaystyle{ -(\nabla,\;D\nabla c(\vec{r}))=f(\vec{r}). }[/math]

• При [math]\displaystyle{ D }[/math], не зависящем от [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math], стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при [math]\displaystyle{ f=0 }[/math]):

[math]\displaystyle{ \Delta c(\vec{r})=-\frac{f(\vec{r})}{D}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta c(\vec{r})=0. }[/math]

Постановка краевых задач

• Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

Найти решение уравнения теплопроводности в области [math]\displaystyle{ -\infty\leqslant x\leqslant +\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ t\geqslant t_0 }[/math], удовлетворяющее условию [math]\displaystyle{ u(x,\;t_0)=\varphi(x)\quad(-\infty\lt x\lt +\infty) }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] — заданная функция.

• Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области [math]\displaystyle{ -\infty\leqslant x\leqslant +\infty }[/math] и [math]\displaystyle{ t\geqslant t_0 }[/math], удовлетворяющее условиям

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0\lt x\lt \infty) \\ u(0,\;t)=\mu(t),\quad(t\geqslant t_0) \end{array}\right. }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu(t) }[/math] — заданные функции.

• Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области [math]\displaystyle{ 0\leqslant x\leqslant l }[/math] и [math]\displaystyle{ -\infty\lt t }[/math], удовлетворяющее условиям

[math]\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} u(0,\;t)=\mu _1(t), \\ u(l,\;t)=\mu _2(t), \end{array}\right. }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mu_1(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu_2(t) }[/math] — заданные функции.

• Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

[math]\displaystyle{ u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0\lt x\lt l,\;0\lt t\leqslant T }[/math] — уравнение теплопроводности.

Если [math]\displaystyle{ f(x,\;t)=0 }[/math], то такое уравнение называют однородным, в противном случае — неоднородным.

[math]\displaystyle{ u(x,\;0)=\varphi(x),\quad 0\leqslant x\leqslant l }[/math] — начальное условие в момент времени [math]\displaystyle{ t=0 }[/math], температура в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] задается функцией [math]\displaystyle{ \varphi(x) }[/math].

[math]\displaystyle{ \left.\begin{array}{l} u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ u(l,\;t)=\mu_2(t), \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T }[/math] — краевые условия. Функции [math]\displaystyle{ \mu_1(t) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu_2(t) }[/math] задают значение температуры в граничных точках 0 и [math]\displaystyle{ l }[/math] в любой момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math].

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ([math]\displaystyle{ \alpha_i^2+\beta_i^2\ne 0,\;(i=1,\;2) }[/math]).

[math]\displaystyle{ \begin{array}{l} \alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ \alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t). \end{array} }[/math]

Если [math]\displaystyle{ \alpha_i=0,\;(i=1,\;2) }[/math], то такое условие называют условием первого рода, если [math]\displaystyle{ \beta_i=0,\;(i=1,\;2) }[/math] — второго рода, а если [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta_i }[/math] отличны от нуля, то условием третьего рода. Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности — первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция [math]\displaystyle{ u(x,\;t) }[/math] в пространстве [math]\displaystyle{ D\times[0,\;T],\;D\in\R^n }[/math], удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности [math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u=0 }[/math], причем [math]\displaystyle{ D }[/math] — ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция [math]\displaystyle{ u(x,\;t) }[/math] может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области [math]\displaystyle{ D }[/math].