Теорема Стеклова

Теорема Стеклова — одна из фундаментальных теорем математической физики и теории рядов Фурье. Одно из важнейших применений теоремы Стеклова в теории дифференциальных уравнений в частных производных состоит в том, что она дает строгое математическое обоснование метода Фурье (разделения переменных) для решения смешанных краевых задач для уравнений гиперболического типа (например, уравнения колебаний струны). Доказана в начале XX века русским математиком В. А. Стекловым.

Любая функция [math]\displaystyle{ f \in C^2[a,b] }[/math], удовлетворяющая условиям [math]\displaystyle{ f(a)=f(b)=0 }[/math], разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по ортогональной системе собственных функций [math]\displaystyle{ \{y_n(x)\} }[/math] задачи Штурма—Лиувилля, то есть [math]\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n y_n(x), \quad c_n =\frac{(f,y_n)}{(y_n,y_n)}, }[/math] где скалярное произведение [math]\displaystyle{ (\cdot,\cdot) }[/math] и ортогональность системы функций понимаются в смысле гильбертова пространства [math]\displaystyle{ L^2[a,b]. }[/math]

Литература

• Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. Ч. I—II. — Пг., 1922—1923.
• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Любое издание.
• Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука, 1988.