Гиперболические уравнения

Волновой процесс, получаемый при решении уравнения гиперболического типа

Гиперболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Характеризуются тем, что задача Коши с начальными данными, заданными на нехарактеристической поверхности, однозначно разрешима.

Уравнения второго порядка

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции [math]\displaystyle{ u\colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n) }[/math]

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: [math]\displaystyle{ a_{ij} = a_{ji} }[/math]. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

[math]\displaystyle{ \left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n) }[/math],

где [math]\displaystyle{ A = A^T }[/math].
Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна [math]\displaystyle{ (n-1, 1) }[/math], то есть матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] имеет [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] положительных собственных значений и одно отрицательное (либо наоборот: [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] отрицательных, одно положительное), то уравнение относят к гиперболическому типу.

Другое, эквивалентное определение: уравнение называется гиперболическим, если оно представимо в виде:

[math]\displaystyle{ Lu - a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = f(x_1,\ldots , x_{n-1}, t) }[/math],

где: [math]\displaystyle{ L }[/math] — положительно определённый эллиптический оператор, [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math].

Уравнения первого порядка на плоскости

Уравнение типа

[math]\displaystyle{ u_t+Au_x=h(t,x,u) }[/math]

где [math]\displaystyle{ x\in\R }[/math], [math]\displaystyle{ t\in\R }[/math], [math]\displaystyle{ A=A(x,t,u)\in\R^{n\cdot n} }[/math] — квадратные матрицы и [math]\displaystyle{ u=u(x,t)\in \R^n }[/math] — неизвестные. Являются гиперболическими если матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] имеет различные вещественные собственные значения для всех параметров.

Решение гиперболических уравнений

Для нахождения однозначного решения уравнение доопределяется начальными и краевыми условиями, поскольку уравнение имеет второй порядок по времени, то начальных условия два: для самой функции и для её производной.

• Для аналитического решения уравнений в бесконечной области используют формулу Кирхгофа, которая в одномерном случае представляется в виде формулы Д’Аламбера, а в двухмерном в виде формулы Пуассона — Парсеваля.
• Для аналитического решения в конечной области можно использовать метод разделения переменных Фурье и его модификации для решения неоднородных уравнений.
• Для численного решения используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, их комбинацию (по времени решают конечными разностями, по пространству — конечными элементами), а также другие численные методы, подходящие под задачу.

Примеры гиперболических уравнений

• Волновое уравнение — уравнение, описывающее колебания струн, мембран и так далее.
• Различные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла, описывающие электромагнитное поле. Это может быть постановка относительно одного из векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{A}, \mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{D}, \mathbf{H} }[/math], считая не нулевой только одну из компонент вектора (то есть когда уравнение становится скалярным).
• Сеть Чебышёва — решение линейного гиперболического уравнения первой степени.

См. также

• Эллиптические уравнения
• Параболическое уравнение
• Схема с разностями против потока

Литература

• Гиперболического типа уравнение // Математический энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Советская энциклопедия». — 1988.
• Лере Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения. — М., Наука, 1984. — 208 с.