Представление фазового пространства

В представлении фазового пространства квантовая механика трактует единообразно как координаты, так и импульсы частиц, которые образуют фазовое пространство, в отличие от трактовки Шредингера, где используется координатное или импульсное представления (см. координатное и импульсное пространства). Два ключевых элемента физической картины в представлении фазового пространства состоят в следующем: квантовое состояние описывается квазивероятностным распределением (вместо волновой функции, векторами состояний или матрицей плотности), и оператор умножения заменяется звёздочным произведением.

Теория была полностью разработана Хилбрандом Груневолдом в 1946 году в своей кандидатской диссертации и независимо Джо Моялем. Каждая из этих работ базировались на более ранних идеях, сформулированных Германом Вейлем и Юджином Вигнером.

Главное преимущество квантовой механики в представлении фазового пространства заключается в том, что оно делает квантовую механику аналогичной гамильтоновой механике, избегая формализма операторов, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» Гильбертова пространства. Эта формулировка носит статистический характер и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет естественное сравнение между ними в так называемом классическом пределе, то есть при [math]\displaystyle{ \hbar\rightarrow 0 }[/math]. Квантовая механика в фазовом пространстве часто выступает в определённых приложениях квантовой оптики (см. оптическое фазовое пространство), при изучении декогеренции и целом ряде специальных технических проблем, хотя этот формализм редко используется на практике.

Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, воплотились в математических ответвлениях, таких как алгебраическая теория деформирования (см. формула квантования Концевича) и некоммутативная геометрия.

Распределение в фазовом пространстве

Основные статьи: Функция Вигнера, Преобразование Вигнера — Вейля и Квазивероятностное распределение

Распределение в фазовое пространстве f(x,p), которое описывает квантовое состояние это квазивероятностное распределение. В представлении фазового пространства, распределение можно рассматривать как основополагающее, примитивное описание квантовой системы, без каких-либо ссылок на волновые функции или матрицы плотности.

Существует несколько различных способов представления распределений, но все они взаимосвязаны. Наиболее примечательным является представление Вигнера, W(x,p), обнаруженое первым. Другие представления (приблизительно в порядке убывания распространённости в литературе) включают P представление Глаубера — Сударшана, Q представление Хусими, представление Кирквуда — Рихачека, представление Мехты, представление Ривьера и представление Борна — Иордана. Эти альтернативы наиболее полезны, когда гамильтониан принимает особую форму, например при нормальном порядке для операторов в P представления Глаубера — Сударшана. Поскольку представление Вигнера является самым распространенным в литературе, то в этой статье, как правило, рассматривается оно, если не указано иное.

Распределение в фазовом пространстве обладает свойствами подобными плотности вероятности в 2n-мерном фазовом пространстве. Например, оно является вещественнозначным, в отличие от комплекснозначной волновой функции. Мы можем понимать вероятность, нахождения внутри координатного интервала. Например, путем интегрирования функция Вигнера по всем импульсам и по координатам в интервале [a,b] получим:

[math]\displaystyle{ \operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b \int_{-\infty}^{\infty} W(x, p) \, dp \, dx. }[/math]

Если Â(x,p) — оператор, представляющий наблюдаемую величину, то ему можно сопоставить в фазовом пространстве, величину A(x, p) через преобразование Вигнера. Наоборот, этот оператор можно восстановить через преобразование Вейля.

Среднее значение наблюдаемой по отношению к распределению в фазовом пространстве задаётся выражением

[math]\displaystyle{ \langle \hat{A} \rangle = \int A(x, p) W(x, p) \, dp \, dx. }[/math]

Однако, несмотря на внешнее сходство, W(x,p) не обладает всеми свойствами подлинного совместного распределения вероятностей, потому что области под ним не являются взаимно исключающими, как требуется в четвёртой аксиоме теории вероятности (аксиома аддитивности). Кроме того, оно может, в общем случае, принимать отрицательные значения даже для чистых состояний, за уникальным исключением сжатых когерентных состояний и, соответственно, нарушать вторую аксиому Колмогорова.

Области с такими отрицательными значениями «малы»: они не могут распространяться на компактные области больше, чем несколько ħ, и, следовательно, исчезают в классическом пределе. Они защищены неопределенностью Гейзенберга, которая не позволяет точно локализовать частицу в пределах области фазового пространства меньше, чем ħ, и, таким образом, делает такие «отрицательные вероятности» менее парадоксальными. Если левую часть уравнения можно интерпретировать как среднее значение в гильбертовом пространстве по отношению к оператору, то в контексте квантовой оптики это уравнение известно как оптическая теорема эквивалентности. (Подробнее о свойствах и интерпретации функции Вигнера, смотрите главную статью.)

Альтернативный подход к квантовой механике в фазовом пространстве стремится определить волновую функцию (не только квазивероятностной плотности) на фазовом пространстве, обычно с помощью преобразования Сегала — Бергмана. Для совместимости с принципом неопределенности, волновая функция в фазовом пространстве не может быть произвольной функцией, иначе частицу можно было бы локализовать в сколь угодно малой области фазового пространства. Скорее, преобразование Сегала — Бергмана является голоморфной функцией от x+ip. Существует квазивероятностная плотность, связанная с волновой функцией в фазовом пространстве; это Q представление Хусими волновой функции в координатном представлении.

Звёздочное произведение

Основная статья: Произведение Мояля

Фундаментальный некоммутативный бинарный оператор в фазовом пространстве, который заменяет стандартный оператор умножения — это звёздочное произведение, обозначаемое символом ★. Каждое представление распределения в фазовом пространстве имеет различные звёздочные произведения. Для конкретности, здесь рассматривается звёздочное произведение, соответствующее представлению Вигнера — Вейля.

Для удобства вводятся обозначения для правой и левой производных. Для пары функций f и g левая и правая производные определяются как

[math]\displaystyle{ f \overleftarrow {\partial }_x g = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot g }[/math]

[math]\displaystyle{ f \overrightarrow{\partial }_x g = f \cdot \frac{\partial g}{\partial x}. }[/math]

Дифференциальное определение звёздочного произведения

[math]\displaystyle{ f \star g = f \, \exp{\left( \tfrac{i \hbar}{2} (\overleftarrow {\partial }_x \overrightarrow{\partial }_{p}-\overleftarrow{\partial }_{p} \overrightarrow {\partial }_{x}) \right)} \, g, }[/math]

где аргумент экспоненциальной функции представляется в виде степенного ряда. Введённые дифференциальные соотношения позволяют записать это выражение в виде разницы в аргументах f и g:

[math]\displaystyle{ \begin{align} (f \star g)(x,p) &= f\left(x+\tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow {\partial }_{p} , p - \tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow {\partial }_{x}\right) \cdot g(x,p) \\ &= f(x,p) \cdot g\left(x -\tfrac{i \hbar}{2} \overleftarrow{\partial }_{p} , p + \tfrac{i \hbar}{2} \overleftarrow{\partial }_{x}\right) \\ &= f\left(x +\tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow{\partial }_{p} , p\right) \cdot g\left(x -\tfrac{i \hbar}{2} \overleftarrow{\partial }_{p} , p\right) \\ &= f\left(x , p - \tfrac{i \hbar}{2} \overrightarrow{\partial }_{x}\right) \cdot g\left(x , p + \tfrac{i \hbar}{2}\overleftarrow{\partial }_{x}\right). \end{align} }[/math]

Также возможно переписать ★-произведение как конволюцию, через преобразование Фурье:

[math]\displaystyle{ (f \star g)(x,p) = \frac{1}{\pi^2 \hbar^2} \, \int f(x+x',p+p') \, g(x+x'',p+p'') \, \exp{\left(\tfrac{2i}{\hbar}(x'p''-x''p')\right)} \, dx' dp' dx'' dp'' ~. }[/math]

Таким образом, например, гауссианы преобразуются через гиперболическую функцию

[math]\displaystyle{ \exp \left (-{a } (x^2+p^2)\right ) ~ \star ~ \exp \left (-{b} (x^2+p^2)\right ) = {1\over 1+\hbar^2 ab} \exp \left (-{a+b\over 1+\hbar^2 ab} (x^2+p^2)\right ) , }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \delta (x) ~ \star ~ \delta(p) = {2\over h} \exp \left (2i{xp\over\hbar}\right ) , }[/math]

и т. д..

Собственные состояния гамильтониана для распределений известны как «звёздочные состояния», ★-состояния или ★-собственные функции, а соответствующие им собственные значения известны как звёздочные собственные значения или ★-собственные значения. Эти решения находятся аналогично как для стационарного уравнения Шрёдингера, используя уравнения для ★-собственных значений,

[math]\displaystyle{ H \star W = E \cdot W, }[/math]

где H — гамильтониан, простая функция в фазовом пространстве обычно аналогичная классическому гамильтониану.

Эволюция во времени

Эволюция во времени распределения в фазовом пространстве задаётся квантовой модификацией лиувиллевского потока. Эта формула является результатом применения преобразования Вигнера к версии квантового уравнения Лиувилля для матрицы плотности или уравнением фон Неймана.

В любом представлении распределения в фазовом пространстве со своим ассоциированным звёздочным произведением эволюция во времени определяется уравнением

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{1}{i \hbar} \left(f \star H - H \star f \right), }[/math]

или для функции Вигнера в частности

[math]\displaystyle{ \frac{\partial W}{\partial t} = -\{\{W,H\}\} = -\frac{2}{\hbar} W \sin \left ( {{\frac{\hbar }{2}}(\overset{\leftarrow}{\partial_x} \overset{\rightarrow}{\partial_p}-\overset{\leftarrow}{\partial_p}\overset{\rightarrow}{\partial_x})} \right ) \ H =-\{W,H\} + O(\hbar^2), }[/math]

где {{ , }} — скобки Мояля, преобразование Вигнера квантового коммутатора, а { , } — классическое скобки Пуассона.

Это чёткий пример принципа соответствия: это уравнение явно сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе ħ → 0. Однако в квантовом потоке, плотность точек в фазовом пространстве не сохраняется, и вероятностная жидкость становится «диффузионной» и сжимаемой. Таким образом, концепция траектории квантовой частицы не определяется точно. Учитывая ограничения, установленные принципом неопределенности в отношении локализации, Нильс Бор отрицал физическое существование таких траекторий в микроскопическом масштабе. С помощью формальных траекторий в фазовом пространстве, временное уравнение для функции Вигнера можно строго решить с помощью метода интегралов по траекториям и метода квантовых характеристик, хотя есть неустранимые практические препятствия в обоих случаях. См. фильм для потенциала Морзе, ниже, чтобы оценить быстрое распространение потенциальных траекторий.

Примеры

Простой гармонический осциллятор

Основная статья: Квантовый гармонический осциллятор

Квазивероятностное распределение Вигнера F_n(u) для простого одномерного гармонического осциллятора для квантовых чисел a) n = 0, b) n = 1, и c) n = 5.

Гамильтониан для простого гармонического осциллятора в одномерном случае в представлении Вигнера — Вейля равен

[math]\displaystyle{ H=\frac{1}{2}m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}. }[/math]

Уравнение на ★-собственные значений для статической функции Вигнера имеет вид

[math]\displaystyle{ \begin{align} H \star W &= \left(\frac{1}{2}m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right) \star W \\ &= \left(\frac{1}{2}m \omega^2 \left( x+\frac{i \hbar}{2} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p} \right)^2 + \frac{1}{2m}\left(p - \frac{i \hbar}{2} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}\right)^2\right) ~ W\\ &= \left( \frac{1}{2}m \omega^2 \left(x^2 - \frac{\hbar^2}{4} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p}^2 \right) + \frac{1}{2m}\left( p^2 -\frac{\hbar^2}{4} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}^2 \right) \right) ~ W\\ &\, \, \, \, \, + \frac{i \hbar}{2} \left(m \omega^2 x \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p} - \frac{p}{m} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}\right) ~ W \\ &= E \cdot W. \end{align} }[/math]

Эволюция во времени комбинированного состояния, состоящего из основного и 1-го возбужденного состояний Вигнера, для простого гармонического осциллятора. Обратите внимание на жесткое движение в фазовом пространстве, соответствующее обычным колебаниям в координатном пространстве. Соответствует функции Вигнера вида [math]\displaystyle{ W(x,p){{=}}\frac1\pi\left(x^2+\sqrt{2}x+p^2\right)\exp(-x^2-p^2) }[/math]

Функция Вигнера для основного состояния гармонического осциллятора, смещенного от начала фазового пространства, то есть когерентное состояние. Обратите внимание на жесткое вращение, идентичное классическому движению: это особенность гармонического осциллятора, иллюстрирующая принцип соответствия.

Рассмотрим сначала мнимую часть уравнения на ★-собственные значения.

[math]\displaystyle{ \frac{\hbar}{2} \left(m \omega^2 x \overrightarrow{\partial }_{p} - \frac{p}{m} \overrightarrow{\partial }_{x}\right) \cdot W=0 }[/math]

Это означает, что можно записать ★-собственные значения как функцию одного аргумента,

[math]\displaystyle{ W(x,p)=F\left(\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right)\equiv F(u). }[/math]

С этой заменой переменных, можно записать действительную часть уравнения на ★-собственные значения в форме модифицированного уравнения Лагерра (не Эрмита), решения которого включают в себя полиномы Лагерра в виде

[math]\displaystyle{ F_n(u) = \frac{(-1)^n}{\pi \hbar} L_n\left(4\frac{u}{\hbar \omega}\right) e^{-2u/\hbar \omega} ~, }[/math]

введенные Груневолдом в его статье, которые соответствуют ★-собственным значениям

[math]\displaystyle{ E_n = \hbar \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)~. }[/math]

Для гармонического осциллятора эволюция во времени произвольного распределения Вигнера тривиальна. Начальная функция W(x,p; t=0) = F(u) развивается во времени с помощью приведенного выше уравнения для гамильтониана осциллятора — она просто жёстко вращается в фазовом пространстве,

[math]\displaystyle{ W(x,p;t)=W(m\omega x \cos \omega t - p \sin \omega t , ~ p \cos \omega t + \omega m x \sin \omega t ;0) ~. }[/math]

Как правило, «холм» (или когерентное состояние) энергии E ≫ ħω может представлять макроскопическую величину и выглядит как классический объект, равномерно вращающийся в фазовом пространстве и напоминает простой механический осциллятор (см. Анимированные фигуры). Интегрируя по всем фазам (начальные позиции при t = 0) таких объектов, непрерывный «палисад», дает не зависящую от времени конфигурацию, аналогичную приведенным выше статическим ★-состояниям F(u) и интуитивную визуализацию классического предела для систем с большим действием.

Угловой момент свободной частицы

Предположим, что частица первоначально находится в минимально неопределенном гауссовском состоянии, причем ожидаемые значения положения и импульса центрированы в начале координат в фазовом пространстве. Функция Вигнера для такого свободно распространяющегося состояния,

[math]\displaystyle{ W(\mathbf{x},\mathbf{p};t)=\frac{1}{(\pi \hbar)^3} \exp{\left( -\alpha^2 r^2 - \frac{p^2}{\alpha^2 \hbar^2}\left(1+\left(\frac{t}{\tau}\right)^2\right) + \frac{2t}{\hbar \tau} \mathbf{x} \cdot \mathbf{p}\right)} ~, }[/math]

где α — параметр, описывающий начальную ширину гауссиана и τ = m/α²ħ.

Первоначальное положение и импульсы некоррелированы. Таким образом, в трех измерениях мы ожидаем, что векторы положения и импульса будут в два раза более вероятно расположены перпендикулярно друг другу, чем параллельно.

Однако положение и импульс становятся все более коррелированными по мере того, как состояние эволюционирует во времени, поскольку части распределения дальше от центра соответствуют большему импульсу: асимптотически

[math]\displaystyle{ W \longrightarrow \frac{1}{(\pi\hbar)^3}\exp\left[-\alpha^2\left(\mathbf{x}-\frac{\mathbf{p}t}{m}\right)^2\right]\,. }[/math]

Это относительное «сжатие» отражает распространение пакета свободной волны в координатном пространстве.

Действительно, можно показать, что кинетическая энергия частицы становится асимптотически радиальной только в согласии со стандартным квантовомеханическим представлением о ненулевом угловом моменте основного состояния, определяющем независимость от направления:

[math]\displaystyle{ K_{rad}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\left(\frac{3}{2} - \frac{1}{1+(t/\tau)^2}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ K_{ang}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\frac{1}{1+(t/\tau)^2}~. }[/math]

Потенциал Морзе

Потенциал Морзе используется для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.

Эволюция во времени для функции Вигнера для потенциала Морзе U(x) = 20(1 − e^−0.16x)² в атомных единицах. Сплошные линии представляют собой набор уровней для гамильтониана H(x, p) = p²/2 + U(x).

Квантовое туннелирование

Туннелирование — это ключевой квантовый эффект, когда квантовая частица, не обладающая достаточной энергией для пролёта выше барьера, все же проходит через него. Этот эффект не существует в классической механике.

Функция Вигнера для туннелирования через потенциальный барьер U(x) = 8e^−0.25x2 в атомных единицах. Сплошные линии представляют собой набор уровней для гамильтониана H(x, p) = p²/2 + U(x).

Потенциал четвёртой степени

Эволюция во времени для функции Вигнера для потенциала U(x) = 0.1x⁴ в атомных единицах. Сплошные линии представляют собой набор уровней для гамильтониана H(x, p) = p²/2 + U(x).

Состояние кота Шрёдингера

Функция Вигнера двух интерферирующих когерентных состояний, эволюционирующих согласно гамильтониану гармонического осциллятора. Соответствующие импульсные и координатные проекции изображены справа и внизу от амплитуды в фазовом пространстве.