Уравнение Швингера — Томонаги

Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей [math]\displaystyle{ \Psi[\sigma] }[/math]. Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:

[math]\displaystyle{ i \hbar \frac{\delta \Psi[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = \mathcal{H}(x) \Psi[\sigma], }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{H}(x) }[/math] — плотность гамильтониана

[math]\displaystyle{ H(t)=\int\mathcal{H}(x)d^3\mathbf{x}. }[/math]

[math]\displaystyle{ x = (x^0, \mathbf{x}) }[/math] — координата в пространстве Минковского [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{1,3} }[/math]. Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:

[math]\displaystyle{ i \hbar \frac{\delta \rho[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = [\mathcal{H}(x), \rho[\sigma]]. }[/math]

Пространственноподобные гиперповерхности [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] определяются трёхмерным многообразием в [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{1,3} }[/math], которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке [math]\displaystyle{ x \in \sigma }[/math] гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

[math]\displaystyle{ n_{\mu}(x) n^{\mu}(x)= 1, }[/math]

являющийся времениподобным

[math]\displaystyle{ n^{0}(x) \geqslant 1. }[/math]

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени. Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] координатами [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] трёхмерного пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^3 }[/math], тогда точки [math]\displaystyle{ x \in \sigma }[/math] могут быть представлены в виде [math]\displaystyle{ x = (x^0(\mathbf{x}),\mathbf{x}) }[/math]. Таким образом, каждая точка [math]\displaystyle{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 }[/math] имеет собственную переменную времени [math]\displaystyle{ x^0 =x^0(\mathbf{x}) }[/math].

Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги

Рассмотрим точку [math]\displaystyle{ x \in \sigma }[/math] и варьированную гиперповерхность [math]\displaystyle{ \sigma + \delta \sigma }[/math], отличную от [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] лишь в некоторой окрестности [math]\displaystyle{ O_x }[/math] точки [math]\displaystyle{ x }[/math]. Через [math]\displaystyle{ \Omega(x) }[/math] обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma + \delta \sigma }[/math]. Тогда функциональная производная [math]\displaystyle{ \frac{\delta}{\delta \sigma(x)} }[/math] произвольного функционала [math]\displaystyle{ F[\sigma] }[/math], приставляющем собой отображение из множестве гиперповерхностей в вещественные числа, определяется следующим образом

[math]\displaystyle{ \frac{\delta F[\sigma]}{\delta \sigma(x)} = \underset{\Omega(x) \rightarrow 0}{\lim} \frac{F[\sigma + \delta \sigma] - F[\sigma]}{\Omega(x)}. }[/math]

Решение уравнения Швингера — Томонаги

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как

[math]\displaystyle{ \rho(\sigma) = U(\sigma, \sigma_0) \rho(\sigma_0) U^{\dagger}(\sigma, \sigma_0), }[/math]

где [math]\displaystyle{ U(\sigma, \sigma_0) }[/math] — унитарный оператор эволюции, имеющий вид

[math]\displaystyle{ U(\sigma, \sigma_0) = \mathrm{Texp} \left[ - i \hbar \int_{\sigma_0}^{\sigma} \mathcal{H}(x)d^4x \right], }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathrm{Texp} }[/math] — упорядоченная по времени экспонента. [math]\displaystyle{ \rho(\sigma_0) }[/math] — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности [math]\displaystyle{ \sigma_0 }[/math] . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

[math]\displaystyle{ \Psi(\sigma) = U(\sigma, \sigma_0) \Psi(\sigma_0), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Psi(\sigma_0) }[/math] — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемости

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости, требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(x) \delta \sigma(y)} - \frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(y) \delta \sigma(x)} = 0, \qquad \forall x, y \in \sigma. }[/math]

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана [math]\displaystyle{ \mathcal{H}(x) }[/math]. Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

[math]\displaystyle{ [\mathcal{H}(x), \mathcal{H}(y)] = 0, \qquad (x - y)^2 \lt 0. }[/math]

Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:

[math]\displaystyle{ \frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(x) \delta \sigma(y)} - \frac{\delta^2 \rho[\sigma]}{\delta \sigma(y) \delta \sigma(x)} = [[\mathcal{H}(x), \mathcal{H}(y)], \rho[\sigma]] = 0, \qquad \forall x, y \in \sigma. }[/math]

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера

Расслоение пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{1,3} }[/math] определяется гладким однопараметрическим семейством

[math]\displaystyle{ \mathcal{F} = \{\sigma(\tau)\} }[/math]

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей [math]\displaystyle{ \sigma(\tau) }[/math] с тем свойством, что каждая точка [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^{1,3} }[/math] принадлежит одной и только одной гиперповерхности [math]\displaystyle{ \sigma(\tau) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \forall x \in \mathbb{R}^{1,3} \; \exist ! \tau \in \mathbb{R}: x \in \sigma(\tau). }[/math]

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке [math]\displaystyle{ x }[/math] как [math]\displaystyle{ \sigma_x }[/math]. Фиксированное расслоение [math]\displaystyle{ \mathcal{F} }[/math] порождает семейство векторов-состояний

[math]\displaystyle{ |\Psi(\tau) \rangle = \Psi(\sigma(\tau)). }[/math]

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

[math]\displaystyle{ |\Psi(\tau) \rangle = |\Psi(0) \rangle - i \hbar \int_{\sigma_0}^{\sigma(\tau)} \mathcal{H}(x) \Psi(\sigma_x)d^4 x. }[/math]

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью [math]\displaystyle{ \sigma_0 = \sigma(0) }[/math] и гиперповерхностью [math]\displaystyle{ \sigma(\tau) }[/math] семейства, которое всецело лежит в будущем [math]\displaystyle{ \sigma_0 }[/math].

Пусть гиперповерхности [math]\displaystyle{ \sigma(\tau) }[/math] могут быть определены неявным выражением

[math]\displaystyle{ \tilde{f}(x, \tau) = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \tilde{f}(x, \tau) }[/math] — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

[math]\displaystyle{ n_{\mu}(x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{\partial \tilde{f} (x, t)}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial \tilde{f} (x, t)}{\partial x_{\mu}}}} \frac{\partial \tilde{f} (x, t)}{\partial x^{\mu}}. }[/math]

Для удобство нормируем функцию [math]\displaystyle{ f(x, \tau) = 0 }[/math] определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

[math]\displaystyle{ n_{\mu}(x) = \frac{\partial f(x, t)}{\partial x^{\mu}}. }[/math]

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

[math]\displaystyle{ \frac{d}{d \tau} |\Psi(\tau) \rangle = - \frac{i}{\hbar} \int_{\sigma(\tau)} \left|\frac{\partial f}{\partial \tau} \right| \mathcal{H}(x) |\Psi(\tau) \rangle d \sigma(x), }[/math]

где интегрирование выполняется по гиперповерхности [math]\displaystyle{ \sigma(\tau) \in \mathcal{F} }[/math]. Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

[math]\displaystyle{ \int_{\sigma(\tau)} \left|\frac{\partial f}{\partial \tau} \right| \mathcal{H}(x) d \sigma(x) = \int_{\sigma(\tau)} \left|n_0 \frac{\partial x_0}{\partial \tau} \right| \mathcal{H}(x) d \sigma(x) = H(\tau) }[/math]

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

[math]\displaystyle{ i \hbar \frac{d}{d \tau} |\Psi(\tau) \rangle = H(\tau)|\Psi(\tau) \rangle. }[/math]

Историческая справка

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность, связанная с тем, что в формализме квантовой механики время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность [math]\displaystyle{ \sigma }[/math].

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.

Литература

• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В . Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 600 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
• Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. . Теория открытых квантовых систем / Пер. с англ. под ред. Ю. И. Богданова. — М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-93972-774-7.
• Прохоров А. М. (ред.). Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. — ISBN 5-85270-034-7.