Перейти к содержанию

Уравнение Паули

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Квантовая механика

Уравнение Паули — уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее движение заряженной частицы со спином 1/2 (например, электрона) во внешнем электромагнитном поле. Предложено Паули в 1927 году. Не путать с основным кинетическим уравнением, также иногда называемым уравнением Паули.

Уравнение Паули является обобщением уравнения Шрёдингера, учитывающим наличие у частицы собственного механического момента импульса — спина. Частица со спином 1/2 может находиться в двух различных спиновых состояниях с проекциями спина +1/2 и −1/2 на некоторое (произвольно выбранное) направление, принимаемое обычно за ось z. В соответствии с этим волновая функция частицы [math]\displaystyle{ \psi (r,t) }[/math] (где r — координата частицы, t — время) является двухкомпонентной:

[math]\displaystyle{ \psi (r,t)=\begin{pmatrix} \psi_1 (r,t)\\ \psi_2 (r,t) \end{pmatrix}. }[/math]

При поворотах координатных осей [math]\displaystyle{ \psi_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi_2 }[/math] преобразуются как компоненты спинора. В пространстве спинорных волновых функций скалярное произведение [math]\displaystyle{ \psi }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi' }[/math] имеет вид

[math]\displaystyle{ ( \psi', \psi ) = \int ( \psi'_1 \psi_1 + \psi'_2 \psi_2) dr, }[/math]

Операторы физических величин являются матрицами 2х2, которые для величин (наблюдаемых), не зависящих от спина, кратны единичной матрице.

В силу общих законов электродинамики электрически заряженная система с отличным от нуля спиновым моментом [math]\displaystyle{ \vec{s} }[/math] обладает и магнитным моментом, пропорциональным [math]\displaystyle{ \vec{s} }[/math]: [math]\displaystyle{ \vec{ \mu}=g \vec{s} }[/math] (g — гиромагнитное отношение). Для орбитального момента [math]\displaystyle{ g={e \over 2mc} }[/math], где e — заряд, m — масса частицы; спиновое гиромагнитное отношение оказывается в два раза большим: [math]\displaystyle{ g={e \over mc} }[/math]. Во внешнем магнитном поле напряжённости [math]\displaystyle{ \vec{B} }[/math] магнитный момент обладает потенциальной энергией [math]\displaystyle{ U=- \vec{ \mu}\ \vec{B} }[/math], добавление которой в гамильтониан H электрона во внешнем электронно-магнитном поле с потенциалами [math]\displaystyle{ \phi }[/math] и A приводит к уравнению Паули:

[math]\displaystyle{ i\hbar {\partial \psi \over \partial t} = { \hat \mathcal{H} \psi\ }= \left[ {1\over 2m} ( \hat{p}- {e\over c} A \hat I)^2+ e \varphi \hat I - { {e \hbar} \over 2mc} ( \hat \sigma \vec B)\right]\psi }[/math]

где [math]\displaystyle{ \hat p }[/math] — оператор импульса, [math]\displaystyle{ \hat I }[/math] — единичный оператор, а [math]\displaystyle{ \hat \sigma }[/math] пропорционален оператору спина: [math]\displaystyle{ \hat s= {\hbar \over 2}\hat \sigma }[/math].

Предложенное первоначально на основе эвристических соображений уравнение Паули оказалось естественным следствием релятивистски-инвариантного уравнения Дирака в слаборелятивистском приближении, в котором учитываются лишь первые члены разложения по обратным степеням скорости света. Если напряжённость внешнего магнитного поля не зависит от пространственных координат, то орбитальное движение частицы и изменение ориентации её спина происходят независимо. Волновая функция при этом имеет вид [math]\displaystyle{ \psi (r,t)= \Phi(r,t) \chi(t) }[/math], где [math]\displaystyle{ \Phi (r,t) }[/math] — скалярная функция, подчиняющаяся уравнению Шрёдингера, а спинор [math]\displaystyle{ \chi= \begin{pmatrix} \chi_1\\ \chi_2 \end{pmatrix} }[/math] удовлетворяет уравнению

[math]\displaystyle{ i\hbar {\partial \chi \over \partial t} = - { {e \hbar} \over 2mc} ( \sigma \vec B ) \chi. }[/math]

Из этого уравнения следует, что среднее значение спина [math]\displaystyle{ \lang s \rang= ~{ \hbar \over 2 } ( \chi + \sigma \chi ) }[/math] прецессирует вокруг направления магнитного поля:

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \lang s\rang = - \omega_B [\vec {n} \lang s\rang]. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \omega_B = {eB \over mc} }[/math] — циклотронная частота, [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math] — единичный вектор вдоль магнитного поля. На основе уравнения Паули может быть рассчитано расщепление уровней электронов в атоме во внешнем магнитном поле с учётом спина (эффект Зеемана). Однако более тонкие релятивистские эффекты в атомах, обусловленные спином электрона, могут быть описаны лишь при учёте более высоких членов разложения релятивистского уравнения Дирака по обратным степеням скорости света.

Литература

  • Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62.
  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63.
  • Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.—Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
  • Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — 720 с. — («Теоретическая физика», том IV). — ISBN 5-9221-0058-0.
  • Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия, 1992. — Т. 3. Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. — 672 с.

См. также