Параболическое уравнение

Визуализация решения параболического уравнения (уравнения теплопроводности)

Параболические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных. Один из видов уравнений, описывающих нестационарные процессы.

Определение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции [math]\displaystyle{ u : R^n \rightarrow R }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} \frac{\partial ^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k=1}^n b_k \frac{\partial u}{\partial x_k} + c u = f(x_1,\ldots , x_n) }[/math]

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: [math]\displaystyle{ a_{ij} = a_{ji} }[/math]. Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы:

[math]\displaystyle{ \left ( \nabla A \nabla ^T \right )u + \mathbf{b} \cdot \nabla u + c u = f(x_1,\ldots , x_n) }[/math],

где [math]\displaystyle{ A = A^T }[/math].
Матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] называется матрицей главных коэффициентов.
Если сигнатура полученной формы равна [math]\displaystyle{ (n-1, 0) }[/math], то есть матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] имеет одно собственное значение равное нулю и [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] собственных значений имеют одинаковый знак, то уравнение относят к параболическому типу.
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется параболическим, если оно представимо в виде:

[math]\displaystyle{ Lu + a \frac{\partial u}{\partial t} = f(x_1,\ldots , x_{n-1}, t) }[/math],

где: [math]\displaystyle{ L }[/math] — эллиптический оператор, [math]\displaystyle{ a \neq 0 }[/math].

Решение параболических уравнений

Для нахождения единственного решения уравнение рассматривается в совокупности с начальными и краевыми условиями. Поскольку по времени уравнение имеет первый порядок, то начальное условие накладывается одно: на искомую функцию.

• Для нахождения решений параболических уравнений, в том числе и абстрактных параболических уравнений, могут применяться методы теории полугрупп операторов.
• Для аналитического решения параболических уравнений в бесконечной области (задача Коши для параболического уравнения) используют специальную интегральную формулу.
• Для аналитического решения параболических уравнений в конечной области может применяться метод разделения переменных Фурье.
• Для численного решения параболических уравнений используют метод конечных элементов, метод конечных разностей, метод конечных объёмов, а также их комбинации и другие численные методы, подходящие под решаемую задачу.

Принцип максимума

Для параболического уравнения вида:

[math]\displaystyle{ -a^2\Delta u + \partial_t u = 0 \ (x_1,\ldots\,x_{n-1}) \in \Omega }[/math]

Решение [math]\displaystyle{ u(x_1, \ldots, x_{n-1}, t) }[/math] принимает своё максимальное значение либо при [math]\displaystyle{ t=0 }[/math], либо на границе области [math]\displaystyle{ \Omega }[/math].

Примеры параболических уравнений

• Уравнения описывающие процессы конвекции и диффузии, в том числе уравнение диффузии и его частный случай — уравнение теплопроводности.
• Система уравнений Навье-Стокса, описывающее движение жидкости и газов является системой параболических уравнений с дивергентными ограничениями.
• Для некоторых типов сред из уравнений Максвелла можно получить параболические уравнения относительно векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbf{E} }[/math].

См. также

• Эллиптические уравнения
• Гиперболическое уравнение
• Автоволны