Интегро-дифференциальные уравнения

Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала или производной.

[math]\displaystyle{ {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x) }[/math]

где

[math]\displaystyle{ {L}_{n}[\varphi (x)]=\frac{{d}^{n}\varphi (x)}{{dx}^{n}}+{a}_{1}(x)\frac{{d}^{n-1}\varphi (x)}{{dx}^{n-1}}+...+{a}_{n}(x)\varphi (x) }[/math] называется внешним дифференциальным оператором, а

[math]\displaystyle{ {P}_{m}[\varphi (y)]=\frac{{d}^{m}\varphi (y)}{{dy}^{m}}+{b}_{1}(y)\frac{{d}^{m-1}\varphi (y)}{{dy}^{m-1}}+...+{b}_{m}(y)\varphi (y) }[/math] — внутренним дифференциальным оператором

[math]\displaystyle{ K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)]) }[/math] — ядро интегро-дифференциального уравнения

Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно.

Классификация интегро-дифференциальных уравнений

Линейные интегральные уравнения

Линейными интегро-дифференциальными уравнениями называется уравнения, в которые внутренний дифференциальный оператор входит линейно:

[math]\displaystyle{ {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x) }[/math]

Уравнения Фредгольма

Линейным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма называется уравнение с постоянными пределами интегрирования

Уравнения Фредгольма 1-рода

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида:

[math]\displaystyle{ {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=0 }[/math]

Уравнения Фредгольма 2-рода

Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида:

[math]\displaystyle{ {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x) }[/math]

Уравнения Вольтерры

Линейным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры называется уравнение с переменным верхним пределом интегрирования

Уравнения Вольтерры 1-рода

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 1-го рода называется уравнение вида:

[math]\displaystyle{ {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=0 }[/math]

Уравнения Вольтерры 2-рода

Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 2-го рода называется уравнение вида:

[math]\displaystyle{ {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{x}K(x,y){P}_{m}[\varphi (y)]dy=f(x) }[/math]

Нелинейные интегральные уравнения

Нелинейным уравнением Фредгольма называется интегро-дифференциальное уравнение, в которое внутренний дифференциальный оператор входит нелинейно:

[math]\displaystyle{ {L}_{n}[\varphi (x)]-\lambda \int_{a}^{b}K(x,y,{P}_{m}[\varphi (y)])dy=f(x) }[/math]

Методы решения интегро-дифференциальных уравнений

См. также

Интегральное уравнение

Литература

Г. А. Шишкин, Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма. Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару. Издательство Бурятского госуниверситета 2007.