Дифференциальное уравнение

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Визуализация воздушного потока, рассчитанная решением уравнения Навье-Стокса
Визуализация теплообмена в корпусе насоса, созданная путём решения уравнения теплопроводности
График некоторых частных интегралов дифференциального уравнения

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, которое помимо функции содержит её производные. Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной. Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным. Например, [math]\displaystyle{ f' \left( x \right) = f \left( f \left( x \right) \right) }[/math] не является дифференциальным уравнением[1].

В отличие от алгебраических уравнений, в результате решения которых ищется число (несколько чисел), при решении дифференциальных уравнений ищется функция (семейство функций).

Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения.

Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволяет некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.

Обобщением понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных является уравнение в функциональных производных.

Терминология и классификация

Порядок дифференциального уравнения — наивысший порядок входящих в него производных.

Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения. Так, например, уравнение [math]\displaystyle{ \left( y'' \right)^4 + y' + y^6 + x^7 = 0 }[/math] является уравнением второго порядка, четвёртой степени[2].

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] называется функция [math]\displaystyle{ y \left( x \right) }[/math], имеющая на некотором интервале [math]\displaystyle{ \left( a, b \right) }[/math] производные [math]\displaystyle{ y' \left( x \right), y'' \left( x \right), ..., y^{\left( n \right)} \left( x \right) }[/math] до порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции [math]\displaystyle{ y \left( x \right) }[/math] удается привести к квадратуре (то есть к виду [math]\displaystyle{ y = \int f \left( x \right)\ dx }[/math], где [math]\displaystyle{ f \left( x \right) }[/math] — элементарная функция), независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных[3].

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Рудольфом Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана Софьей Ковалевской (1874).

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределённых функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и так далее.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

История

Исаак Ньютон
Готфрид Лейбниц
Леонард Эйлер
Жозеф-Луи Лагранж
Пьер-Симон Лаплас
Жозеф Лиувилль
Анри Пуанкаре
Софья Ковалевская

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном (1642—1727). Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришёл к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебры Ли ещё раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных легла в основу современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Основная статья: Обыкновенное дифференциальное уравнение

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) — это уравнения, зависящие от одной независимой переменной; они имеют вид

[math]\displaystyle{ F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ F\left(x,y,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^2},...,\frac{\mathrm{d}^{n}y}{\mathrm{d}x^n}\right)=0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ y=y(x) }[/math] — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной [math]\displaystyle{ x, }[/math] штрих означает дифференцирование по [math]\displaystyle{ x. }[/math] Число [math]\displaystyle{ n }[/math] называется порядком дифференциального уравнения. Наиболее практически важными являются дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Основная статья: Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad(1), }[/math]

где функции [math]\displaystyle{ P(t,x) }[/math] и [math]\displaystyle{ Q(t,x) }[/math] определены и непрерывны в некоторой области [math]\displaystyle{ \Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x} }[/math].

Дифференциальные уравнения в частных производных

Основная статья: Дифференциальное уравнение в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных (УРЧП) — это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частные производные. Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

[math]\displaystyle{ F \left(x_1, x_2,\dots, x_m, z, \frac{\partial z}{\partial x_1}, \frac{\partial z}{\partial x_2},\dots, \frac{\partial z}{\partial x_m}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_1 \partial x_2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x_2^2},\dots,\frac{\partial^n z}{\partial x_m^n}\right)= 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ x_1, x_2,\dots, x_m }[/math] — независимые переменные, а [math]\displaystyle{ z\! = z(x_1, x_2,\dots, x_m) }[/math] — функция этих переменных. Порядок уравнений в частных производных может определяется так же, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ещё одной важной классификацией уравнений в частных производных является их разделение на уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа, в особенности для уравнений второго порядка.

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Основная статья: Линейное дифференциальное уравнение

Как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных можно разделить на линейные и нелинейные. Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений. Общий вид линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

[math]\displaystyle{ p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x), }[/math]

где pi(x) — известные функции независимой переменной, называемые коэффициентами уравнения. Функция r(x) в правой части называется свободным членом (единственное слагаемое, не зависящее от неизвестной функции). Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Подклассом линейных уравнений являются однородные дифференциальные уравнения — уравнения, которые не содержат свободного члена: r(x) = 0. Для однородных дифференциальных уравнений выполняется принцип суперпозиции: линейная комбинация частных решений такого уравнения также будет его решением. Все остальные линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными дифференциальными уравнениями.

Нелинейные дифференциальные уравнения в общем случае не имеют разработанных методов решения, кроме некоторых частных классов. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным. Например, нелинейное уравнение математического маятника [math]\displaystyle{ \frac{d^2y}{dx^2} + \omega^2\sin y = 0 }[/math] в случае малых амплитуд, когда sin y ≈ y, может рассматриваться как линейное уравнение гармонического осциллятора [math]\displaystyle{ \frac{d^2y}{dx^2} + \omega^2 y = 0 }[/math]

Примеры

  • [math]\displaystyle{ y''+9y=0 }[/math] — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением является семейство функций [math]\displaystyle{ y = (C_1 \cos 3x + C_2 \sin 3x) }[/math], где [math]\displaystyle{ C_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ C_2 }[/math] — произвольные константы, которые для конкретного решения определяются из задаваемых отдельно начальных условий. Это уравнение, в частности, описывает движение гармонического осциллятора с циклической частотой 3.
  • Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения [math]\displaystyle{ m \frac{d^2 x}{dt^2}= F(x,t), }[/math] где m — масса тела, x — его координата, F(x, t) — сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.
  • Дифференциальное уравнение Бесселя — обыкновенное линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами: [math]\displaystyle{ x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0. }[/math] Его решениями являются так называемые цилиндрические функции — функции Бесселя, Неймана, Ганкеля.
  • Пример неоднородного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка: [math]\displaystyle{ \frac{du}{dx} = u^2 + 1. }[/math]

В следующей группе примеров неизвестная функция u зависит от двух переменных x и t или x и y.

  • Однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:
[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. }[/math]
  • Одномерное волновое уравнение — однородное линейное уравнение в частных производных гиперболического типа второго порядка с постоянными коэффициентами, описывает колебание струны, если [math]\displaystyle{ u=u(x,t) }[/math] — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, а параметр a задаёт свойства струны:
[math]\displaystyle{ \frac{\partial{}^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}. }[/math]
  • Уравнение Лапласа в двумерном пространстве — однородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа с постоянными коэффициентами, возникающее во многих физических задачах механики, теплопроводности, электростатики, гидравлики:
[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. }[/math]

Важнейшие дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнения в частных производных

См. также

Программное обеспечение

Примечания

  1. ↑ Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971, стр. 16
  2. ↑ Алибеков И. Ю. Численные методы, У/П. — МГИУ, 2008. — С. 180. — 221 с. — ISBN 9785276014623.
  3. ↑ Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1988. — 686 с.
  4. ↑ dsolve - Maple Programming Help. www.maplesoft.com. Дата обращения: 12 мая 2020. Архивировано 23 ноября 2013 года.
  5. ↑ Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0. doc.sagemath.org. Дата обращения: 12 мая 2020. Архивировано 14 января 2020 года.
  6. ↑ [Symbolic algebra and Mathematics with Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf].

Литература

Энциклопедии и справочники

  • Дифференциальные уравнения // Дебитор — Евкалипт. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 8).
  • Дифференциальные уравнения : [арх. 10 ноября 2014] / И. П. Макаров // Математическая энциклопедия : в 5 т. / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М. : Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д’Аламбера оператор — Кооперативная игра. — 552 с. — 1104 стб.
  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
  • Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
  • Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
  • Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
  • Полянин А. Д., Зайцев В. Ф.. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002 .

Учебники

Задачники

  • Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – 3-е изд. – М.: Высшая школа, 1978.
  • Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. – 2-е изд. – М.: Высшая школа, 1989.
  • Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Дифференциальное_уравнение&oldid=5831111