Полилинейная алгебра

Полилине́йная а́лгебра — раздел алгебры, обобщающий понятия линейной алгебры на функции нескольких переменных, линейные по каждому из аргументов.

Основные определения

Основным объектом полилинейной алгебры является полилинейное ([math]\displaystyle{ n }[/math]-линейное) отображение:

[math]\displaystyle{ f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow W }[/math],

где [math]\displaystyle{ V_1, \dots, V_n }[/math] и [math]\displaystyle{ W }[/math] – векторные пространства над определённым полем [math]\displaystyle{ K }[/math]. Условие [math]\displaystyle{ n }[/math]-линейности означает, строго говоря, что для каждого [math]\displaystyle{ i = 1, \dots, n }[/math] семейство отображений

[math]\displaystyle{ (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}} : V_k \rightarrow W; \quad (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}}(x_i) = f(x_1, \dots, x_n) }[/math],

зависящее от [math]\displaystyle{ n - 1 }[/math] переменных [math]\displaystyle{ \{x_k | k \ne i\} }[/math] как от параметров, состоит из линейных отображений. Можно также определить [math]\displaystyle{ n }[/math]-линейное отображение рекурсивно (по индукции), как линейное отображение из [math]\displaystyle{ V_n }[/math] в векторное пространство [math]\displaystyle{ (n - 1) }[/math]-линейных отображений.

• 2-линейное отображение называется билинейным, 3-линейное — трилинейным. Если [math]\displaystyle{ W }[/math] совпадает с полем [math]\displaystyle{ K, }[/math] то отображение называется полилинейной формой.

• Полилинейная форма называется симметричной, если её значение не изменятся при перестановке любых двух аргументов, и следовательно, при любой перестановке всех аргументов.
• Полилинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если её значение изменятся на противоположное при перестановке любых двух аргументов. Следовательно, при перестановке всех аргументов ей значение не изменятся, если перестановка чётная, и изменятся на противоположное, если перестановка нечётная.
• Теорема: для каждого [math]\displaystyle{ n \gt 1 }[/math] существует единственная (с точностью до умножения на константу — элемент поля [math]\displaystyle{ K }[/math]) кососимметричная [math]\displaystyle{ n }[/math]-линейная форма [math]\displaystyle{ f : V_1 \times \dots \times V_n \rightarrow K }[/math]. Это — определитель матрицы, составленной из векторов [math]\displaystyle{ V_1, \dots, V_n }[/math].

• Возможно обобщение отображений с векторных пространств (над полями) на модули над кольцами.

Квадратичные и билинейные формы

Основная статья: Билинейная форма

Основная статья: Квадратичная форма

Алгебраические формы (однородные многочлены на векторных пространствах, задаваемые однородными многочленами от координат вектора) являются важными объектами изучения в линейной алгебре. Наибольший интерес из них представляют квадратичные формы и билинейные формы, но также изучаются и формы высших степеней, полилинейные формы, поликвадратичные формы, некоторые специальные виды форм (полуторалинейные, эрмитовы). Основными вопросами при изучении алгебраических форм являются законы изменения коэффициентов при линейных преобразованиях (заменах координат), способы приведения к каноническому виду посредством линейных преобразований и взаимопредставление форм.

Квадратичная форма — объект линейной алгебры, фигурирующий во многих разделах математики, в частности, в теории чисел, теории групп (ортогональная группа), дифференциальной геометрии, алгебрах Ли (киллингова форма), определяемый как однородный многочлен второй степени в основном поле от [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных ([math]\displaystyle{ n }[/math] — размерность рассматриваемого пространства). Квадратичная форма может быть представлена как матрица [math]\displaystyle{ n \times n }[/math], которая (при основном поле характеристики, отличной от 2) является симметрической, а каждой симметрической матрице соответствует квадратичная форма, соответственно, над квадратичными формами вводятся те же операции, что и над матрицами (умножение на скаляр, сложение), квадратичные формы могут быть приведены к каноническому виду — диагональной форме:

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2 }[/math],

(одним из практических способов приведения является метод Лагранжа) и рассматривается [math]\displaystyle{ [a_1, \dots, a_n] }[/math] как класс эквивалентности всех квадратичных форм, приводимых к диагональной форме с соответствующими коэффициентами, внутри таких классов эквивалентности сохраняются ранг и сигнатура.

Рассмотрение пары линейных форм (однородных многочленов первой степени) как единой функции от двух систем переменных (в терминах линейных пространств — над декартовым произведением двух векторных пространств, в наиболее общем случае — над произведением левого и правого унитарных модулей над одним кольцом с единицей) приводит к понятию билинейной формы (с точки зрения тензорной алгебры, билинейная форма рассматривается как тензор ранга [math]\displaystyle{ (2,0) }[/math]). Как и квадратичная форма, билинейная может быть выражена матрицей, притом всякая билинейная форма [math]\displaystyle{ B }[/math] может быть представлена квадратичной:

[math]\displaystyle{ Q_b(x)= B(x,y) + B(y,x) }[/math]

притом, в случае, когда векторное пространство определено над полем характеристики отличной от 2, взаимно единственным образом.

Ввиду особой важности (как для самой линейной алгебры, так и для приложений) наиболее детально изучены свойства симметричных [math]\displaystyle{ (B(x,y)=B(y,x)) }[/math] и кососимметричных [math]\displaystyle{ (B(x,y)= - B(y,x)) }[/math] билинейных форм.

Другие примеры

Формализма

• Тензорное исчисление
• Алгебра Клиффорда

Объектов

• Поливектор
• Грассманиан

Операций

• Тензорное произведение — создаёт линейное пространство, но отображения, линейные на произведении, соответствуют полилинейным отображениям на исходных пространствах

Литература

Полилинейная алгебра — статья из Математической энциклопедии. А. Л. Онищик

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.