Гладкий инфинитезимальный анализ

Гладкий инфинитезимальный анализ — это математически строгое переформулирование анализа в терминах инфинитезималей. Будучи основанным на идеях Уильяма Ловера и используя методы теории категорий, он рассматривает все функции как непрерывные и невыражаемые через дискретные элементы. Как теория это раздел синтетической дифференциальной геометрии.

Нильпотентными инфинитезималями называют числа [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], удовлетворяющие условию [math]\displaystyle{ \varepsilon^2 = 0 }[/math]; при этом совсем не обязательно [math]\displaystyle{ \varepsilon = 0. }[/math]

Этот подход отходит от классической логики, используемой в обычной математике, отказываясь от закона исключённого третьего, утверждающего, что из [math]\displaystyle{ \neg (a \neq b) }[/math] следует [math]\displaystyle{ a = b. }[/math] В частности, для некоторых инфинитезималей [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] нельзя доказать ни [math]\displaystyle{ \varepsilon = 0 }[/math], ни [math]\displaystyle{ \neg (\varepsilon = 0) }[/math]. То, что закон исключённого третьего не может выполняться, видно из следующей основной теоремы:

В гладком инфинитезимальном анализе любая функция, домен которой — [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] (вещественные числа, дополненные инфинитезималями), непрерывна и бесконечно дифференцируема.

Несмотря на это, можно попробовать определить разрывную функцию, например, как

[math]\displaystyle{ f(x) = \begin{cases}1, & x = 0,\\ 0, & x \neq 0.\end{cases} }[/math]

Если бы закон исключённого третьего выполнялся, это было бы полностью определённой, разрывной функцией. Однако существует множество значений [math]\displaystyle{ x }[/math] — инфинитезималей, — для которых не выполняется ни [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math], ни [math]\displaystyle{ x \neq 0 }[/math], так что эта функция определена не на всём [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].

В типичных моделях гладкого инфинитезимального анализа инфинитезимали не являются обратимыми, и следовательно, эти модели не содержат бесконечных чисел. Однако также существуют модели с обратимыми инфинитезималями.

Существуют также другие системы, включающие инфинитезимали, например нестандартный анализ и сюрреальные числа. Гладкий инфинитезимальный анализ похож на нестандартный анализ в том, что он разработан как основание анализа, и инфинитезимали не имеют конкретных величин (в противоположность сюрреальным числам, в которых типичный пример инфинитезималя — [math]\displaystyle{ 1/\omega }[/math], где [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — ординал фон Неймана). Однако гладкий инфинитезимальный анализ отличен от нестандартного анализа в том, что он использует неклассическую логику, и в том, что для него нарушается принцип переноса. Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа ложны в гладком инфинитезимальном анализе, примерами служат теорема Больцано — Коши и парадокс Банаха — Тарского (последний доказуем в классической математике в рамках ZFC, но недоказуем в ZF). Утверждения на языке нестандартного анализа могут быть переведены в утверждения о пределах, но то же самое не всегда верно в гладком инфинитезимальном анализе.

Интуитивно гладкий инфинитезимальный анализ можно интерпретировать как описывающий мир, в котором линии состоят из бесконечно малых отрезков, а не из точек. Эти отрезки можно считать достаточно длинными, чтобы иметь определённое направление, но недостаточно длинными, чтобы искривляться. Конструирование разрывных функций не удаётся потому, что функция отождествляется с кривой, а кривую нельзя сконструировать поточечно. Можно представить, что теорема Больцано — Коши не выполняется из-за способности инфинитезимального отрезка «перекидываться» через разрыв. Аналогично, парадокс Банаха — Тарского не выполняется потому, что область нельзя разделить на точки.

См. также

Для дальнейшего чтения

John Lane Bell, Invitation to Smooth Infinitesimal Analysis (PDF file)
Bell, John L., A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge University Press, 1998. Second edition, 2008.
Ieke Moerdijk and Reyes, G.E., Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer-Verlag, 1991.

Внешние ссылки

Michael O'Connor, An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis