Кватернионный анализ

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера.

Определение регулярной функции

Рассмотрим оператор

[math]\displaystyle{ \bar \partial = \frac{\partial}{\partial \bar q} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec i \frac{\partial}{\partial x} + \vec j \frac{\partial}{\partial y} + \vec k \frac{\partial}{\partial z} }[/math]

Функция кватернионного переменного [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{H} \to \mathbb{H} }[/math] называется регулярной, если

[math]\displaystyle{ \bar \partial f = 0 }[/math]

Гармонические функции

Пусть [math]\displaystyle{ \bar \partial f = 0 }[/math], тогда и [math]\displaystyle{ \partial \bar \partial f = 0 }[/math]. Несложно проверить, что оператор [math]\displaystyle{ \partial \bar \partial }[/math] имеет вид

[math]\displaystyle{ \partial \bar \partial = \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \Delta_4 }[/math]

и совпадает с оператором Лапласа в [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math]. Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^4 }[/math]. Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции [math]\displaystyle{ \tau \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} }[/math] существует регулярная кватернионная функция [math]\displaystyle{ f }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ \tau = \operatorname{Scal}\,f }[/math]. Из свойств гармонических функций сразу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Некоторые применения

Кватернионы активно применяются для расчёта трёхмерной графики в компьютерных играх

Дифференцирование отображений

Пусть [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] — функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной [math]\displaystyle{ y'_l }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x=a }[/math] как такое число, что

[math]\displaystyle{ f(x)-f(a)=y'_l(x-a)+o(x-a) }[/math]

где [math]\displaystyle{ o(h) }[/math] — бесконечно малая от [math]\displaystyle{ h }[/math] , то есть

[math]\displaystyle{ \lim_{h \to 0}\frac{|o(h)|}{|h|}=0 }[/math] .

Множество функций, которые имеют левую производную, ограничено. Например, такие функции, как

[math]\displaystyle{ y=axb }[/math]

[math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math]

не имеют левой производной.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

[math]\displaystyle{ a(x+h)b-axb=ahb }[/math]

[math]\displaystyle{ (x+h)^2-x^2=xh+hx+h^2 }[/math]

Нетрудно убедиться, что выражения

[math]\displaystyle{ ahb }[/math] и [math]\displaystyle{ xh+hx }[/math]

являются линейными функциями кватерниона [math]\displaystyle{ h }[/math]. Это наблюдение является основанием для следующего определения.

Непрерывное отображение

[math]\displaystyle{ f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H }[/math]

называется дифференцируемым на множестве [math]\displaystyle{ U\subset \mathbb H }[/math], если в каждой точке [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] изменение отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] может быть представлено в виде

[math]\displaystyle{ f(x+h)-f(x)=\frac{d f(x)}{d x}\circ h+o(h) }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \frac{d f(x)}{d x}:\mathbb H\rightarrow\mathbb H }[/math]

линейное отображение алгебры кватернионов [math]\displaystyle{ \mathbb H }[/math] и [math]\displaystyle{ o:\mathbb H\rightarrow \mathbb H }[/math] такое непрерывное отображение, что

[math]\displaystyle{ \lim_{a\rightarrow 0}\frac{|o(a)|}{|a|}=0 }[/math]

Линейное отображение

[math]\displaystyle{ \frac{d f(x)}{d x} }[/math]

называется производной отображения [math]\displaystyle{ f }[/math].

Производная может быть представлена в виде

[math]\displaystyle{ \frac{d f(x)}{d x}= \frac{d_{s0} f(x)}{d x} \otimes \frac{d_{s1} f(x)}{d x} }[/math]

Соответственно дифференциал отображения [math]\displaystyle{ f }[/math] имеет вид

[math]\displaystyle{ df=\frac{d f(x)}{d x}\circ dx= \left( \frac{d_{s0} f(x)}{d x} \otimes \frac{d_{s1} f(x)}{d x}\right)\circ dx= \frac{d_{s0} f(x)}{d x} dx \frac{d_{s1} f(x)}{d x} }[/math]

Здесь предполагается суммирование по индексу [math]\displaystyle{ s }[/math]. Число слагаемых зависит от выбора функции [math]\displaystyle{ f }[/math]. Выражения

[math]\displaystyle{ \frac{d_{s0}d f(x)}{d x}, \frac{d_{s1} f(x)}{d x} }[/math]

называются компонентами производной.

Производная удовлетворяет равенствам

[math]\displaystyle{ \frac{d(f(x)+g(x))}{d x} =\frac{df(x)}{d x}+\frac{dg(x)}{d x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{df(x)g(x)}{d x} =\frac{df(x)}{d x}\ g(x)+f(x)\ \frac{dg(x)}{d x} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{df(x)g(x)}{d x} \circ h =\left(\frac{df(x)}{d x}\circ h\right )\ g(x)+f(x)\left(\frac{dg(x)}{d x}\circ h\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{daf(x)b}{d x} =a\ \frac{df(x)}{d x}\ b }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{daf(x)b}{d x}\circ h =a\left(\frac{df(x)}{d x}\circ h\right) b }[/math]

Если [math]\displaystyle{ y=axb }[/math], то производная имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{daxb}{d x}=a\otimes b, dy=\frac{daxb}{d x}\circ dx=a\,dx\,b }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d_{10} axb}{d x}=a, \frac{d_{11} axb}{d x}=b }[/math]

Если [math]\displaystyle{ y=x^2 }[/math], то производная имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{dx^2}{d x}=x\otimes 1+1\otimes x, dy=\frac{dx^2}{d x}\circ dx=x\,dx+dx\,x }[/math]

и компоненты производной имеют вид

[math]\displaystyle{ \frac{d_{10}x^2}{d x}=x, \frac{d_{11}x^2}{d x}=1 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d_{20}x^2}{d x}=1, \frac{d_{21}x^2}{d x}=x }[/math]

Если [math]\displaystyle{ y=x^{-1} }[/math], то производная имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{dx^{-1}}{d x}=-x^{-1}\otimes x^{-1}, dy=\frac{dx^{-1}}{d x}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1} }[/math]

и компоненты производной имеют вид

[math]\displaystyle{ \frac{d_{10}x^{-1}}{d x}=-x^{-1}, \frac{d_{11}x^{-1}}{d x}=x^{-1} }[/math]

Литература

• D. B. Sweetser, Doing Physics with Quaternions Архивная копия от 7 января 2009 на Wayback Machine (англ.)
• A. Sudbery, Quaternionic Analysis, Department of Mathematics, University of York, 1977.
• В. И. Арнольд, Геометрия сферических кривых и алгебра кватернионов, УМН, 1995, 50:1(301), 3-68

См. также

• Комплексный анализ