Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину [math]\displaystyle{ x }[/math], искомую функцию [math]\displaystyle{ y }[/math] и её производные, то есть соотношение вида:

[math]\displaystyle{ \Phi (x, y', y'',..., y^{(n)})=0 }[/math]

Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией [math]\displaystyle{ y }[/math] от переменной [math]\displaystyle{ x }[/math] и её производными.

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

[math]\displaystyle{ y=x\varphi(y')+\psi(y') }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi }[/math] — известные функции от [math]\displaystyle{ y' }[/math], причём считаем, что функция [math]\displaystyle{ \varphi(y') }[/math] отлична от [math]\displaystyle{ y' }[/math]. Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math].

Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр [math]\displaystyle{ y'=p }[/math]. Тогда уравнение можно записать в виде:

[math]\displaystyle{ y=x\varphi(p)+\psi(p) }[/math] [math]\displaystyle{ \longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ (1) }[/math]

Замечая, что [math]\displaystyle{ p={dy \over dx} }[/math] продифференцируем обе части этого уравнения по [math]\displaystyle{ x }[/math]:

[math]\displaystyle{ p=\varphi(p)+[x\varphi'(p)+\psi'(p)]{dp \over dx} }[/math]

Преобразуем его в виде

[math]\displaystyle{ p-\varphi(p)=[x\varphi'(p)+\psi'(p)]{dp \over dx} }[/math] [math]\displaystyle{ \longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ (2) }[/math]

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении [math]\displaystyle{ p=p_0 }[/math], удовлетворяющему условию [math]\displaystyle{ p_0-\varphi(p_0)=0 }[/math]. В самом деле, при любом постоянном значении [math]\displaystyle{ p }[/math], производная [math]\displaystyle{ {dp \over dx} }[/math] тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению [math]\displaystyle{ p=p_0 }[/math], то есть, [math]\displaystyle{ {dy \over dx}=p_0 }[/math], является линейной функцией от [math]\displaystyle{ x }[/math], поскольку производная [math]\displaystyle{ {dy \over dx} }[/math], постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство [math]\displaystyle{ (1) }[/math] значение [math]\displaystyle{ p=p_0 }[/math], то есть

[math]\displaystyle{ y=x\varphi(p_0)+\psi(p_0) }[/math].

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение [math]\displaystyle{ (2) }[/math] в виде

[math]\displaystyle{ {dx \over dp}-x{\varphi'(p) \over p-\varphi(p)}={\psi'(p) \over p-\varphi(p)} }[/math]

и будем считать [math]\displaystyle{ x }[/math], как функцию от [math]\displaystyle{ p }[/math]. Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции [math]\displaystyle{ x }[/math] от [math]\displaystyle{ p }[/math]. Решая его, найдём

[math]\displaystyle{ x=\omega(p, C) }[/math] [math]\displaystyle{ \longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ (3) }[/math]

Исключая параметр [math]\displaystyle{ p }[/math] из уравнений [math]\displaystyle{ (1) }[/math] и [math]\displaystyle{ (3) }[/math] найдём общий интеграл уравнения [math]\displaystyle{ (1) }[/math] в виде

[math]\displaystyle{ \Phi(x, y, C)=0 }[/math].

Дифференциальное уравнение Клеро

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

[math]\displaystyle{ y=xy'+\psi(y') }[/math] [math]\displaystyle{ \longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ (1) }[/math]

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда [math]\displaystyle{ \varphi(y')=y' }[/math]. Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.

Положим [math]\displaystyle{ y'= {dy \over dx}=p }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ y = xp+\psi(p) }[/math] [math]\displaystyle{ \longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ (2) }[/math]

Продифференцируем это уравнение по [math]\displaystyle{ x }[/math], так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что [math]\displaystyle{ p={dy \over dx} }[/math], пишем

[math]\displaystyle{ p=x{dp \over dx}+p+\psi'(p){dp \over dx} }[/math]

Преобразуем его к виду

[math]\displaystyle{ [x+\psi'(p)]{dp \over dx}=0 }[/math]

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

[math]\displaystyle{ {dp \over dx}=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ (3) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ [x+\psi'(p)]=0 }[/math] [math]\displaystyle{ \longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ (4) }[/math]

Интегрируя уравнение [math]\displaystyle{ (3) }[/math] получим [math]\displaystyle{ p=C=const }[/math]. Подставим значение [math]\displaystyle{ p }[/math] в уравнение [math]\displaystyle{ (2) }[/math] найдём его общий интеграл

[math]\displaystyle{ y=xC+\psi(C) }[/math] [math]\displaystyle{ \longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ (5) }[/math]

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения [math]\displaystyle{ (4) }[/math] найдём [math]\displaystyle{ p }[/math] как функцию от [math]\displaystyle{ x }[/math], затем подставим её в уравнение [math]\displaystyle{ (2) }[/math], то получим функцию

[math]\displaystyle{ y=xp(x)+\psi[p(x)] }[/math] [math]\displaystyle{ \longleftrightarrow }[/math] [math]\displaystyle{ (6) }[/math]

Которая, как легко показать, является решением уравнения [math]\displaystyle{ (1) }[/math]. Действительно, в силу равенства [math]\displaystyle{ (4) }[/math] находим

[math]\displaystyle{ {dy \over dx}=p+[x+\psi'(p)]{dp \over dx} }[/math]

Но поскольку [math]\displaystyle{ [x+ \psi'(p)]{dp \over dx}=0 }[/math], то [math]\displaystyle{ {dy \over dx}=p }[/math]. Поэтому подставляя функцию [math]\displaystyle{ (6) }[/math] в уравнение [math]\displaystyle{ (1) }[/math], получаем тождество

[math]\displaystyle{ xp+\psi(p)=xp+\psi(p) }[/math].

Решение [math]\displaystyle{ (6) }[/math] не получается из общего интеграла [math]\displaystyle{ (5) }[/math] ни при каком значении произвольной постоянной [math]\displaystyle{ C }[/math]. Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра [math]\displaystyle{ p }[/math] из уравнений

[math]\displaystyle{ y=xp+\psi(p) }[/math] и [math]\displaystyle{ x+\psi'(p)=0 }[/math]

или, что без разницы, исключением [math]\displaystyle{ C }[/math] из уравнений

[math]\displaystyle{ y=xC+\psi(C) }[/math] и [math]\displaystyle{ x+\psi'(C)=0 }[/math]

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом [math]\displaystyle{ (5) }[/math].

Приложения уравнения Клеро.

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

[math]\displaystyle{ Y-y = y'(X-x) }[/math]

или

[math]\displaystyle{ Y=y'X+(y-xy') }[/math]

Любое свойство касательной выражается соотношением между [math]\displaystyle{ (y - xy') }[/math] и [math]\displaystyle{ y' }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Phi(y - xy', y')=0 }[/math]

Решая его относительно [math]\displaystyle{ (y - xy') }[/math], придём к уравнению вида

[math]\displaystyle{ y=xy'+\psi(y') }[/math], то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

Литература

В. И. Смирнов «Курс высшей математики», том второй, издательство «Наука», Москва 1974.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985

К. Н. Лунгу, В. П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

См. также

Соотношение Клеро

Ссылки