Функции Бесселя
Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
- [math]\displaystyle{ x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.
Хотя [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] и [math]\displaystyle{ (-\alpha) }[/math] порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
Применения
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
- электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
- теплопроводность в цилиндрических объектах;
- формы колебания тонкой круглой мембраны;
- распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
- скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
- волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обеими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.
Определения
Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.
Функции Бесселя первого рода
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми [math]\displaystyle{ J_\alpha(x) }[/math], являются решения, конечные в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] при целых или неотрицательных [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]):
- [math]\displaystyle{ J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}. }[/math]
Здесь [math]\displaystyle{ \Gamma(z) }[/math] — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x}} }[/math], хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к [math]\displaystyle{ \pi }[/math] при [math]\displaystyle{ x \to \infty }[/math])[1].
Ниже приведены графики [math]\displaystyle{ J_\alpha (x) }[/math] для [math]\displaystyle{ \alpha = 0, 1, 2 }[/math]:
Если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] не является целым числом, функции [math]\displaystyle{ J_\alpha (x) }[/math] и [math]\displaystyle{ J_{-\alpha} (x) }[/math] линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] целое, то верно следующее соотношение:
- [math]\displaystyle{ J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x). }[/math]
Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).
Интегралы Бесселя
Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], используя интегральное представление:
- [math]\displaystyle{ J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau. }[/math]
Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:
- [math]\displaystyle{ J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau. }[/math]
Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]-периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от [math]\displaystyle{ -\infty }[/math] до [math]\displaystyle{ 1 }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi = -\pi }[/math], окружность единичного радиуса и луч от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ +\infty }[/math] при [math]\displaystyle{ \varphi = \pi }[/math]. Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:
- [math]\displaystyle{ J_\alpha (x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \!e^{i(xsin(\varphi)-\alpha\varphi)}d\varphi - \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi}\int\limits_{1}^{\infin} \frac{e^{-\frac{1}{2}x(r-\frac{1}{r})}}{{}r^{\alpha+1}}dr. }[/math]
Нетрудно убедиться, что при целых [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] это выражение переходит в предыдущую формулу.
Функции Неймана
Функции Неймана — решения [math]\displaystyle{ Y_\alpha(x) }[/math] уравнения Бесселя, бесконечные в точке [math]\displaystyle{ x=0 }[/math].
Эта функция связана с [math]\displaystyle{ J_\alpha(x) }[/math] следующим соотношением:
- [math]\displaystyle{ Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}, }[/math]
где в случае целого [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] берётся предел по [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.
Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:
- [math]\displaystyle{ y(x) = C_1 J_\alpha(x) + C_2 Y_\alpha(x). }[/math]
Ниже приведён график [math]\displaystyle{ Y_\alpha (x) }[/math] для [math]\displaystyle{ \alpha = 0, 1, 2 }[/math]:
В ряде книг функции Неймана обозначаются [math]\displaystyle{ N_\alpha (x) }[/math].
Сферические функции Бесселя
При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных, уравнение на радиальную часть имеет вид
- [math]\displaystyle{ x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + \left(x^2 - n(n + 1)\right) y = 0. }[/math]
Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя jn и yn, и связаны с обычными функциями Бесселя Jn и Неймана Yn с помощью[2]
- [math]\displaystyle{ \begin{align} j_n(x) &= \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+\frac{1}{2}}(x), \\ y_n(x) &= \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+\frac{1}{2}}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-\frac{1}{2}}(x). \end{align} }[/math]
yn также обозначается nn или ηn; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана.
Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (формула Релея)[3]
- [math]\displaystyle{ \begin{align} j_n(x) &= (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n \frac{\sin x}{x}, \\ y_n(x) &= -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n \frac{\cos x}{x}. \end{align} }[/math]
Несколько первых сферических функций Бесселя[4]:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} j_0(x) &= \frac{\sin x}{x}, \\ j_1(x) &= \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}, \\ j_2(x) &= \left(\frac{3}{x^2} - 1\right) \frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x}{x^2}, \\ j_3(x) &= \left(\frac{15}{x^3} - \frac{6}{x}\right) \frac{\sin x}{x} - \left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\cos x}{x} \end{align} }[/math]
и Неймана[5]:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} y_0(x) &= -j_{-1}(x) = -\frac{\cos x}{x}, \\ y_1(x) &= j_{-2}(x) = -\frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x}, \\ y_2(x) &= -j_{-3}(x) = \left(-\frac{3}{x^2} + 1\right) \frac{\cos x}{x} - \frac{3\sin x}{x^2}, \\ y_3(x) &= j_{-4}(x) = \left(-\frac{15}{x^3} + \frac{6}{x}\right) \frac{\cos x}{x} - \left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\sin x}{x}. \end{align} }[/math]
Производящие функции
Производящие функции сферических функций Бесселя[6]:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{1}{z} \cos \left(\sqrt{z^2 - 2zt}\right) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} j_{n-1}(z), \\ \frac{1}{z} \sin \left(\sqrt{z^2 - 2zt}\right) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} y_{n-1}(z). \end{align} }[/math]
Дифференциальные соотношения
В следующих формулах fn может быть заменено на jn, yn, h(1)
n, h(2)
n, где h(1)
n и h(2)
n — сферические функции Ханкеля, для n = 0, ±1, ±2, ...[7]:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^m \left (z^{n+1} f_n(z)\right ) &= z^{n-m+1} f_{n-m}(z), \\ \left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^m \left (z^{-n} f_n(z)\right ) &= (-1)^m z^{-n-m} f_{n+m}(z). \end{align} }[/math]
Свойства
Ортогональность
Пусть [math]\displaystyle{ \mu_1, \mu_2 }[/math] — нули функции Бесселя [math]\displaystyle{ J_{\alpha}(x) }[/math]. Тогда[1]:
- [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1}{x J_{\alpha}(\mu_1 x) J_{\alpha}(\mu_2 x) dx} = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mbox{;}\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\ \frac{1}{2}(J'_{\alpha}(\mu_1))^2 & \mbox{;}\quad\mu_1=\mu_2 \end{matrix} \right. }[/math].
Асимптотика
Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах [math]\displaystyle{ (0 \lt x \ll \sqrt{\alpha + 1}) }[/math] и неотрицательных [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] они выглядят так[8]:
- [math]\displaystyle{ J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha, }[/math]
- [math]\displaystyle{ Y_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right] & \mbox{;}\quad\alpha=0 \\ \\ -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{;}\quad\alpha \gt 0 \end{matrix} \right. }[/math],
где [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов ([math]\displaystyle{ x \gg |\alpha^2 - 1/4| }[/math]) формулы выглядят так:
- [math]\displaystyle{ J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right), }[/math]
- [math]\displaystyle{ Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right). }[/math]
Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:
- [math]\displaystyle{ J_0\rightarrow \sqrt\frac{2}{\pi x}\cos(x-\frac{\pi}{4})+\frac{1}{4x\sqrt{2\pi x}}\sin(x-\frac{\pi}{4}). }[/math]
Гипергеометрический ряд
Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:
- [math]\displaystyle{ J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4). }[/math]
Таким образом, при целых [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.
Производящая функция
Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно
- [math]\displaystyle{ e^{\frac{z}{2}\left(w-\frac{1}{w}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(z)w^n. }[/math]
Соотношения
Формула Якоби — Ангера и связанные с ней
Получается из выражения для производящей функции при [math]\displaystyle{ a=1 }[/math], [math]\displaystyle{ w=e^{i\phi} }[/math][9]:
- [math]\displaystyle{ e^{iz\sin\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty J_{2n}(z)\cos(2n\phi)+2i\sum_{n=1}^\infty J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi. }[/math]
При [math]\displaystyle{ a=1 }[/math], [math]\displaystyle{ t=ie^{i\phi} }[/math][9]:
- [math]\displaystyle{ e^{iz\cos\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty i^nJ_n(z)\cos(n\phi). }[/math]
Рекуррентные соотношения
Для функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:
- [math]\displaystyle{ J_{\alpha+1} = \frac{\alpha}{x}J_{\alpha}-J'_{\alpha}(x); }[/math]
- [math]\displaystyle{ J_{\alpha+1}(x)+J_{\alpha-1}(x) = \frac{2\alpha}{x}J_{\alpha}(x); }[/math]
- [math]\displaystyle{ J_{\alpha+1}(x)-J_{\alpha-1}(x) = -2J'_{\alpha}(x) }[/math][10].
Теорема сложения
Для любого целого n и комплексных [math]\displaystyle{ z_1 }[/math], [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] выполняется[11]
- [math]\displaystyle{ J_n(z_1+z_2) = \sum_{k=-\infty}^\infty J_k(z_1) J_{n-k}(z_2). }[/math]
Интегральные выражения
Для любых [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] (в том числе комплексных) выполняется[12]
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty e^{-at}J_n(bt)\mathrm dt = \frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a)^n}. }[/math]
Частным случаем последней формулы является выражение
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty e^{-at}J_0(bt)\mathrm dt = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}. }[/math]
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Зубов В. И. . Функции Бесселя. — М.: МФТИ, 2007. Архивная копия от 24 июня 2016 на Wayback Machine
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1 Архивная копия от 2 сентября 2006 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26 Архивная копия от 21 декабря 2009 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11 Архивная копия от 30 апреля 2009 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.12 Архивная копия от 30 апреля 2009 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39 Архивная копия от 21 декабря 2009 на Wayback Machine.
- ↑ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.23, 10.1.24 Архивная копия от 22 декабря 2019 на Wayback Machine.
- ↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Mathematical Methods for Physicists. 6th ed. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0.
- ↑ 9,0 9,1 Бейтмен, Эрдейи, 1974, с. 15.
- ↑ В. С. Гаврилов и др. Функции Бесселя в задачах математической физики Архивная копия от 26 ноября 2019 на Wayback Machine, стр. 7
- ↑ Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 670.
- ↑ Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 671.
Литература
- Ватсон Г. . Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
- Бейтмен Г., Эрдейи А. . Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
- Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. . Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.