Дифференциальное уравнение Бернулли

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

[math]\displaystyle{ y'+ a(x)y = b(x)y^n,\quad n \neq 0,\,1 }[/math]

называется уравнением Бернулли (при [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] или [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

Метод решения

Первый способ

Разделим все члены уравнения на

[math]\displaystyle{ y^n, }[/math]

получим

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}\! y^{-n} + a(x)y^{1-n} = b(x). }[/math]

Делая замену

[math]\displaystyle{ z = y ^ {1-n} }[/math]

и дифференцируя, получаем:

[math]\displaystyle{ \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n} \frac{dy}{dx}. }[/math]

Это уравнение приводится к линейному:

[math]\displaystyle{ \frac{dz}{dx} + (1-n)a(x) z = (1-n)b(x) }[/math]

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

[math]\displaystyle{ y = uv, }[/math]

тогда:

[math]\displaystyle{ \dot{u}v + u(\dot{v} + a(x) v) = b(x) (uv)^n. }[/math]

Подберем [math]\displaystyle{ v(x) \not\equiv 0 }[/math] так, чтобы было

[math]\displaystyle{ \dot{v} + a(x) v = 0, }[/math]

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения [math]\displaystyle{ u }[/math] получаем уравнение [math]\displaystyle{ \frac{\dot{u}}{u^n} = b(x)v^{n-1} }[/math] — уравнение с разделяющимися переменными.

Пример

Уравнение

[math]\displaystyle{ y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2 }[/math]

разделим на [math]\displaystyle{ y^2, }[/math] получаем:

[math]\displaystyle{ y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2. }[/math]

Замена переменных

[math]\displaystyle{ w = \frac{1}{y} }[/math]

дает:

[math]\displaystyle{ w' = \frac{-y'}{y^2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ w' + \frac{2}{x}w = x^2. }[/math]

[math]\displaystyle{ M(x)= e^{-2\int \frac{1}{x}dx} = x^{-2}. }[/math]

Делим на [math]\displaystyle{ M(x) }[/math],

[math]\displaystyle{ w'x^2 + 2xw = x^4, }[/math]

[math]\displaystyle{ \int (wx^2)' dx = \int x^4 dx }[/math]

[math]\displaystyle{ wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C. }[/math]

Результат:

[math]\displaystyle{ y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}. }[/math]

Литература

• А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
• В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.