Эргодичность

Эргодичность — специальное свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.

Для эргодических систем математическое ожидание по временным рядам должно совпадать с математическим ожиданием по пространственным рядам. То есть для определения параметров системы можно долго наблюдать за поведением одного её элемента, а можно за очень короткое время рассмотреть все её элементы (или достаточно много элементов). Если система обладает свойством эргодичности, то в обоих случаях получатся одинаковые результаты.

Преимущество эргодических динамических систем в том, что при достаточном времени наблюдения такие системы можно описывать статистическими методами. Например, температура газа — это мера средней энергии молекулы. Предварительно необходимо доказать эргодичность данной системы.

Эргодическая теория — один из разделов общей динамики.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ (X,\; \Sigma ,\; \mu\,) }[/math] есть вероятностное пространство и [math]\displaystyle{ T:X \to X }[/math] — отображение, сохраняющее меру.

Отображение T эргодично по отношению к [math]\displaystyle{ \mu }[/math], если выполнено следующее условие:

для любого T-инвариантного подмножества [math]\displaystyle{ E \in \Sigma }[/math] (то есть такого, что [math]\displaystyle{ T^{-1}(E)=E }[/math]) либо [math]\displaystyle{ \mu(E)=0 }[/math], либо [math]\displaystyle{ \mu(E)=1 }[/math].

Замечания

Определение эквивалентно следующим условиям,

Для любого подмножества [math]\displaystyle{ E \in \Sigma }[/math] положительной меры имеем
[math]\displaystyle{ \mu\left( \bigcup_{n=1}^\infty T^{-n} E \right) = 1 }[/math];
Для любых двух множеств E и H положительной меры существует n > 0 такое, что *:[math]\displaystyle{ \mu((T^{-n}E)\cap H)\gt 0 }[/math];
Любая T-инвариантная измеримая функция [math]\displaystyle{ f:X\to\mathbb{R} }[/math] почти везде постоянна.

См. также

Литература

В. И. Арнольд, А. Авец. Эргодические проблемы классической механики. — Москва—Ижевск: РХД, 1999.
И. П. Корнфельд, Я. Г. Синай, С. В. Фомин. Эргодическая теория. — М.: Наука, 1980.
Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.
Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.
Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики, М. — Л., 1943.
Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. — Л., 1949.
Халмош П. Лекции по эргодической теории: пер. с англ. — М., 1959.
G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660.
J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.

Ссылки

Эргодическая теория // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.