Дифференциальная алгебра

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной [math]\displaystyle{ C(t) }[/math], операции дифференцирования соответствует дифференцирование по [math]\displaystyle{ t }[/math]. Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Эллисом Колчином.

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

[math]\displaystyle{ \partial\colon R \to R }[/math]

удовлетворяющими правилу произведения

[math]\displaystyle{ \partial (r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2) }[/math]

для любых [math]\displaystyle{ r_1, r_2 \in R }[/math]. Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило [math]\displaystyle{ d(xy) = x dy + y dx }[/math] может не выполняться. В безындексной форме записи, если [math]\displaystyle{ M\colon R \times R \to R }[/math] — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

[math]\displaystyle{ \partial \circ M = M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial). }[/math]

где [math]\displaystyle{ f\otimes g }[/math] — отображение пары [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] в пару [math]\displaystyle{ (f(x),g(y)) }[/math].

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

[math]\displaystyle{ \partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u }[/math]

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

[math]\displaystyle{ \partial (u + v) = \partial u + \partial v }[/math]

Полем констант дифференциального поля [math]\displaystyle{ K }[/math] называется [math]\displaystyle{ k = \{u \in K | \partial(u) = 0\} }[/math].

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых [math]\displaystyle{ k \in K }[/math] и [math]\displaystyle{ x \in A }[/math]:

[math]\displaystyle{ \ \partial (kx) = k \partial x }[/math]

В безындексной форме записи, если [math]\displaystyle{ \eta \colon K\to A }[/math] — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

[math]\displaystyle{ \partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) = M \circ (\eta \times \partial) }[/math]

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых [math]\displaystyle{ a,b \in K }[/math] и [math]\displaystyle{ x,y \in A }[/math]:

[math]\displaystyle{ \partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y) }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y }[/math]

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли [math]\displaystyle{ L }[/math] — это линейное отображение [math]\displaystyle{ \delta \colon L \to L }[/math], удовлетворяющее правилу Лейбница:

[math]\displaystyle{ \ \delta([a,b]) = [a,\delta(b)] + [\delta(a),b] }[/math]

Для любого [math]\displaystyle{ a \in L }[/math] оператор [math]\displaystyle{ \operatorname{ad}(a) }[/math] — дифференцирование на [math]\displaystyle{ L }[/math], что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры

Если [math]\displaystyle{ A }[/math] — алгебра с единицей, то [math]\displaystyle{ \partial(1)=0 }[/math], так как [math]\displaystyle{ \partial(1) = \partial(1\times 1) = \partial(1) + \partial(1) }[/math]. Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(t) }[/math] существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством [math]\displaystyle{ \partial(t)=1 }[/math]: из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по [math]\displaystyle{ t }[/math]. Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

[math]\displaystyle{ \partial(u^2) = u \partial(u) + \partial(u) u = 2 u \partial(u) }[/math]

В дифференциальном поле [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(t) }[/math] нет решения дифференциального уравнения [math]\displaystyle{ \partial(u) = u }[/math], но можно расширить его до поля, содержащего функцию [math]\displaystyle{ e^t }[/math], имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

[math]\displaystyle{ R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n\lt \infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}. }[/math]

Умножение в этом кольце определяется как

[math]\displaystyle{ (r\xi^m)(s\xi^n) = \sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ {m \choose k} }[/math] — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

[math]\displaystyle{ \xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n} }[/math]

следующее из

[math]\displaystyle{ {-1 \choose n} = (-1)^n }[/math]

и

[math]\displaystyle{ r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r). }[/math]

Градуированное дифференцирование

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — градуированная алгебра, [math]\displaystyle{ D }[/math] — однородное линейное отображение, [math]\displaystyle{ d = \left| D \right| }[/math]. [math]\displaystyle{ D }[/math] называется однородной производной, если [math]\displaystyle{ D(ab)=D(a)b+\epsilon^{|a||D|}aD(b) }[/math], [math]\displaystyle{ \epsilon = \pm1 }[/math] при действии на однородные элементы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math].

Если [math]\displaystyle{ \epsilon = 1 }[/math], определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если [math]\displaystyle{ \epsilon = -1 }[/math], то [math]\displaystyle{ D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b) }[/math], для нечётных [math]\displaystyle{ \left| D \right| }[/math]. Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math]-градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

См. также

• Дифференциальная теория Галуа
• Кэлеров дифференциал
• Дифференциально замкнутое поле
• D-модуль — это алгебраическая структура с несколькими действующими на ней дифференциальными операторами.

Литература

• Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
• И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
• Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
• Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
• А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.

• Домашняя страница Давида Маркера содержит несколько статей о дифференциальных полях.