Уравнения Гамильтона

Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

[math]\displaystyle{ \dot p_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot q_j =~~\frac{\partial H}{\partial p_j}, }[/math]

где точкой над [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math] обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где [math]\displaystyle{ H = H(q,p,t) \equiv H(q_1,q_2,...,q_N, p_1,p_2,...,p_N,t) }[/math] — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, [math]\displaystyle{ t }[/math] — время^[1], [math]\displaystyle{ q_i }[/math] — (обобщенные) координаты [math]\displaystyle{ (q_1, q_2,\dots,q_N) }[/math] и [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — обобщенные импульсы [math]\displaystyle{ (p_1, p_2, \dots, p_N) }[/math], определяющие состояние системы (точку фазового пространства).

Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики.

Ньютоновский физический смысл

Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем. Гамильтониан [math]\displaystyle{ H }[/math] представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых [math]\displaystyle{ T }[/math] и [math]\displaystyle{ V }[/math] соответственно:

[math]\displaystyle{ H = T + V ,~ T = \frac{p^2}{2m},~ V = V(q) = V(x). }[/math]

В частном случае, если [math]\displaystyle{ q=X }[/math] — декартовы координаты каждой материальной точки системы, записанные подряд по три (физическое пространство будем подразумевать здесь обычным трёхмерным), то есть

[math]\displaystyle{ X_1 = x_1,\; X_2 = y_1,\; X_3 = z_1,\ \ X_4 = x_2,\; X_5 = y_2,\; X_6 = z_2,\;\dots , }[/math]

то канонические уравнения Гамильтона совпадают, учитывая предыдущий абзац, с уравнениями движения Ньютона в виде:

[math]\displaystyle{ \dot{\vec P} = - \nabla V, }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{\vec X} = \vec p / m, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec X = (X_1,X_2,\dots,X_N) }[/math], причём каждое подпространство даёт радиус-вектор соответствующей материальной точки:

[math]\displaystyle{ \vec r_1 = (X_1,X_2,X_3),\ \vec r_2 = (X_4,X_5,X_6),\;\dots, }[/math]

а обобщённые импульсы — соответствующие компоненты трёхмерных импульсов этой точки:

[math]\displaystyle{ \vec p_1 = (P_1,P_2,P_3),\ \vec p_2 = (P_4,P_5,P_6),\;\dots }[/math]

Фундаментальная интерпретация

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) [math]\displaystyle{ \omega }[/math] через волновой вектор [math]\displaystyle{ \mathbf k }[/math] для каждой точки пространства^[2]:

[math]\displaystyle{ \omega = H(\mathbf k,\mathbf x). }[/math]

В классическом приближении (при больших^[3] частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math]) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых ([math]\displaystyle{ \dot q_i = \partial H/ \partial p_i }[/math]) интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие ([math]\displaystyle{ \dot p_i = - \partial H/ \partial q_i }[/math]) вполне естественно — как изменение (в частности — поворот) волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.

Вывод уравнений Гамильтона

Вывод из принципа стационарного действия

Из принципа наименьшего (стационарного) действия уравнения Гамильтона непосредственно получаются варьированием действия

[math]\displaystyle{ S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,p,t) \bigg) dt }[/math]

независимо по [math]\displaystyle{ q }[/math] и по [math]\displaystyle{ p }[/math].

Вывод из лагранжевой механики

Мы можем вывести уравнения Гамильтона, используя информацию об изменении лагранжиана при изменении времени, координат и импульсов частиц.

[math]\displaystyle{ \mathrm{d} L = \sum_i \left ( \frac{\partial L}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}} \mathrm{d} {\dot q_i} \right ) + \frac{\partial L}{\partial t} \mathrm{d}t }[/math]

обобщённые импульсы определяются как [math]\displaystyle{ p_i = \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}} }[/math], и уравнения Лагранжа гласят:

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = F_i , }[/math]

где [math]\displaystyle{ F_i }[/math] — непотенциальная обобщённая сила. Последнее выражение преобразуется к виду

[math]\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial q_i} = {\dot p}_i - F_i , }[/math]

и результат подставляется в вариацию лагранжиана

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}L = \sum_i \left[ \left( {\dot p}_i - F_i \right) \mathrm{d} q_i + p_i \mathrm{d} {\dot q_i} \right] + \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t . }[/math]

Можно записать:

[math]\displaystyle{ \mathrm{d} L = \sum_i \left [ \left ( {\dot p}_i - F_i \right ) \mathrm{d}q_i + \mathrm{d}\left ( p_i {\dot q_i} \right ) - {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t }[/math]

и преобразуется к форме:

[math]\displaystyle{ \mathrm{d} \left ( \sum_i p_i {\dot q_i} - L \right ) = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d}p_i \right] - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t . }[/math]

Множитель в левой части просто гамильтониан, который был определён раньше. Таким образом:

[math]\displaystyle{ \mathrm{d} H = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right] - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left [ \frac{\partial H}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t , }[/math]

где второе равенство выполняется в силу определения частной производной.

Обобщение посредством скобок Пуассона

Уравнения могут быть записаны в более общем виде, если использовать алгебру Пуассона над образующими [math]\displaystyle{ p }[/math] и [math]\displaystyle{ q }[/math]. В этом случае более общая форма уравнений Гамильтона гласит:

[math]\displaystyle{ \frac{dA}{dt} = \{A, H\} + \frac{\partial A}{\partial t}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ A }[/math], называемая классической наблюдаемой, — это некоторая функция переменных [math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ q }[/math] и [math]\displaystyle{ t }[/math], и [math]\displaystyle{ H }[/math] — гамильтониан системы. Со скобками Пуассона можно работать без обращения к дифференциальным уравнениям, поскольку скобки Пуассона полностью аналогичны скобкам Ли в алгебре Пуассона.

Этот алгебраический подход позволяет использовать распределение вероятностей для [math]\displaystyle{ q }[/math] и [math]\displaystyle{ p }[/math], он также позволяет найти сохраняющиеся величины (интегралы движения).

Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.

См. также

Примечания

↑ От времени функция Гамильтона, вообще говоря, может зависеть явно, хотя во многих фундаментальных случаях такой зависимости как раз нет.
↑ Поскольку энергия и импульс и есть частота и волновой вектор, отличаясь от них лишь универсальным постоянным множителем, который может быть выбран и единичным в подходящей системе единиц.
↑ Поскольку в связь энергии и частоты, импульса и волнового вектора в обычных системах единиц входит константа Планка, которая в этих обычных системах единиц очень мала, то обычным для классической механики энергиям и импульсам соответствуют очень большие (в соизмерении с обычными для классической механики пространственными и временными масштабами) частоты и волновые векторы.

Литература

Вилази Г. Гамильтонова динамика. перевод с англ. М.: ИКИ и РХД, 2006. 432с. ISBN 5-93972-444-2
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 222 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974.
Полак Л. С. (ред.) Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки. М.: Физматгиз, 1959

[1] От времени функция Гамильтона, вообще говоря, может зависеть явно, хотя во многих фундаментальных случаях такой зависимости как раз нет.

[2] Поскольку энергия и импульс и есть частота и волновой вектор, отличаясь от них лишь универсальным постоянным множителем, который может быть выбран и единичным в подходящей системе единиц.

[3] Поскольку в связь энергии и частоты, импульса и волнового вектора в обычных системах единиц входит константа Планка, которая в этих обычных системах единиц очень мала, то обычным для классической механики энергиям и импульсам соответствуют очень большие (в соизмерении с обычными для классической механики пространственными и временными масштабами) частоты и волновые векторы.

[1]

[2]

[3]