Однородное дифференциальное уравнение

Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений.

Однородность по аргументу

Обыкновенное уравнение первого порядка [math]\displaystyle{ y'= f(x,y) }[/math] называется однородным относительно x и y, если функция [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] является однородной степени 0:

[math]\displaystyle{ f(\lambda x,\lambda y)= \lambda^0 f(x,y) = f(x,y) }[/math].

Однородную функцию можно представить как функцию от [math]\displaystyle{ \frac{y}{x} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \ f(x,y)=f\left(1,\frac{y}{x}\right)=g\left(\frac{y}{x}\right) }[/math].

Используем подстановку [math]\displaystyle{ \frac{y}{x} = u }[/math], а затем воспользуемся правилом произведения: [math]\displaystyle{ \frac{d(ux)}{dx} = x\frac{du}{dx} + u\frac{dx}{dx} = x\frac{du}{dx} + u }[/math]. Тогда дифференциальное уравнение [math]\displaystyle{ y'= f(x,y) }[/math] сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

[math]\displaystyle{ u'x+u=g(u) \Rightarrow \frac{du}{u-g(u)} + \frac{dx}{x} = 0 }[/math].

Однородность по правой части

Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение [math]\displaystyle{ F(y, y', y'', \ldots) = G(x) }[/math] — однородно, если [math]\displaystyle{ G(x)\equiv 0 }[/math].

В случае, если [math]\displaystyle{ G(x)\neq 0 }[/math], говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.

Именно для решения линейных однородных дифференциальных уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.

См. также