Гомологическая алгебра

Гомологическая алгебра — ветвь алгебры, изучающая алгебраические объекты, заимствованные из алгебраической топологии.

Гомологическая алгебра играет важную роль в алгебраической топологии, применяется во многих разделах алгебры, таких, как теория групп, теория алгебр, алгебраическая геометрия, теория Галуа.

История

Первыми гомологические методы в алгебре применили в 40-х годах XX века Дмитрий Константинович Фаддеев, Самуэль Эйленберг и Саундерс Маклейн при изучении расширений групп.

Цепной комплекс

Цепной комплекс — это градуированный модуль [math]\displaystyle{ M=\bigoplus\limits_{n=0}^{\infty} M_n }[/math] с дифференциалом [math]\displaystyle{ d:M\to M }[/math], [math]\displaystyle{ d^2=0 }[/math], понижающим градуировку для цепного комплекса, [math]\displaystyle{ d(M_n)\subset M_{n-1} }[/math], или повышающим градуировку для коцепного комплекса, [math]\displaystyle{ d(M_n)\subset M_{n+1} }[/math].

Одним из основных понятий гомологической алгебры является цепной комплекс. Цепные комплексы возникают в различных разделах математики: в алгебраической топологии, коммутативной алгебре, алгебраической геометрии. Изучение общих свойств комплексов — одна из основных задач гомологической алгебры.

Резольвента

Проективной резольвентой модуля [math]\displaystyle{ A }[/math], называется левый комплекс [math]\displaystyle{ \ldots\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\longrightarrow\ldots\stackrel{d_1}{\longrightarrow}X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}A\longrightarrow 0 }[/math], в котором все [math]\displaystyle{ X_n }[/math] проективны и гомологии которого равны нулю, кроме нулевых.

Проективные резольвенты используются для вычисления функторов Tor_n(A, C) и Extⁿ(A, C). Резольвенты возникли в алгебраической топологии для вычисления гомологий топологического произведения по гомологиям сомножителей по формуле Кюннета.

Производные функторы

Литература

А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.