Линейное дифференциальное уравнение

В математике линейное дифференциальное уравнение имеет вид

[math]\displaystyle{ Ly = f }[/math]

где дифференциальный оператор L линеен, y — известная функция [math]\displaystyle{ y=y(t) }[/math], а правая часть [math]\displaystyle{ f=f(t) }[/math] — функция от той же переменной, что и y.

Линейный оператор L можно рассматривать в форме

[math]\displaystyle{ L_n(y) \equiv \frac{d^n y}{dt^n} + A_1(t)\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \cdots + A_{n-1}(t)\frac{dy}{dt} + A_n(t)y }[/math]

При этом, если [math]\displaystyle{ f(t)\equiv 0 }[/math], то такое уравнение называется линейным однородным уравнением, иначе — линейным неоднородным уравнением.

Уравнения с переменными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

[math]\displaystyle{ p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_0(x) y(x) = r(x) }[/math]

Пример

Уравнение Коши — Эйлера, используемое в инженерии, является простым примером линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

[math]\displaystyle{ x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0 }[/math]

Уравнение первого порядка

Пример

Решение уравнения

[math]\displaystyle{ y'\left(x\right)+3y\left(x\right)=2 }[/math]

с начальными условиями

[math]\displaystyle{ y\left(0\right)=2 }[/math]

Имеем решение в общем виде

[math]\displaystyle{ y=e^{-3x}\left(\int 2 e^{3x}\, dx + \kappa\right) }[/math]

Решение неопределённого интеграла

[math]\displaystyle{ y=e^{-3x}\left(2/3 e^{3x} + \kappa\right) }[/math]

Можно упростить до

[math]\displaystyle{ y=2/3 + \kappa e^{-3x} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \kappa = }[/math] 4/3, после подстановки начальных условий в решение.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид

[math]\displaystyle{ y'(x) + f(x) y(x) = g(x) }[/math]

Уравнения в такой форме могут быть решены путём умножения на интегрирующий множитель

[math]\displaystyle{ e^{\int f(x)\,dx} }[/math]

Уравнение запишется

[math]\displaystyle{ y'(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx}, }[/math]

В силу того, что левая часть образует дифференциал произведения

[math]\displaystyle{ \left(y(x)e^{\int f(x)\,dx}\right)'=g(x)e^{\int f(x)\,dx} }[/math]

Что, после интегрирования обеих частей, приводит к

[math]\displaystyle{ y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+C ~, }[/math]

[math]\displaystyle{ y(x) = \dfrac{\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+C }{e^{\int f(x)\,dx}} ~. }[/math]

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

[math]\displaystyle{ y'(x) + f(x) y(x) = g(x), }[/math]

(в частности, с постоянными коэффициентами) имеет вид

[math]\displaystyle{ y(x)=e^{-{\int{f(x)\,dx}}}\left(\int g(x) e^{\int{f(x)\,dx}}\, dx + C\right) }[/math]

где [math]\displaystyle{ C }[/math] является константой интегрирования.

Пример

Возьмём дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx} + b y = 1. }[/math]

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка, таким как RC-схемы и масс-демпфер^{[неизвестный термин]} системы.

В этом случае p(x) = b, r(x) = 1.

Следовательно, решение будет:

[math]\displaystyle{ y(x) = e^{-bx} \left( e^{bx}/b+ C \right) = 1/b + C e^{-bx} . }[/math]

См. также

Метод функции Грина

Уравнения с постоянными коэффициентами