Расширение группы

Расширение группы — группа, содержащая заданную группу в качестве нормальной подгруппы. В задаче расширения как правило заданы нормальная подгруппа [math]\displaystyle{ N }[/math] и факторгруппа [math]\displaystyle{ Q }[/math], и ищется расширение [math]\displaystyle{ G \supset N }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ G/N \cong Q }[/math], или, что эквивалентно, такая [math]\displaystyle{ G }[/math], что существует короткая точная последовательность:

[math]\displaystyle{ 1\to N\to G\to Q\to 1 }[/math].

В этом случае говорят, что [math]\displaystyle{ G }[/math] является расширением [math]\displaystyle{ Q }[/math] при помощи [math]\displaystyle{ N }[/math] (иногда используется другая формулировка: группа [math]\displaystyle{ G }[/math] является расширением [math]\displaystyle{ N }[/math] с помощью [math]\displaystyle{ Q }[/math]).

Расширение называется центральным расширением, если подгруппа [math]\displaystyle{ N }[/math] лежит в центре группы [math]\displaystyle{ G }[/math].

Примеры

Группы [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_4 }[/math] также как [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 }[/math] являются расширениями [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math] при помощи [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_2 }[/math].

Очевидное расширение — прямое произведение: если [math]\displaystyle{ G = K \times H }[/math], то [math]\displaystyle{ G }[/math] является как расширением [math]\displaystyle{ H }[/math], так и [math]\displaystyle{ K }[/math]. Если [math]\displaystyle{ G }[/math] является полупрямым произведением групп [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] ([math]\displaystyle{ G=K\rtimes H }[/math]), то [math]\displaystyle{ G }[/math] является расширением [math]\displaystyle{ H }[/math] с помощью [math]\displaystyle{ K }[/math].

Сплетения групп дают дальнейшие примеры расширений.

Свойства

Если потребовать, что [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] были абелевыми группами, то множество классов изоморфизмов расширения группы [math]\displaystyle{ Q }[/math] с помощью заданной (абелевой) группы [math]\displaystyle{ N }[/math], фактически, является группой, которая изоморфна:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Ext}^1_{\mathbb Z}(Q,N) }[/math]

(функтор Ext). Некоторые другие общие классы расширений известны, но нет теории, которая рассматривает все возможные расширения одновременно, в этом смысле задача расширения группы обычно считается трудной.

Поскольку любая конечная группа [math]\displaystyle{ G }[/math] обладает максимальной нормальной подгруппой [math]\displaystyle{ N }[/math] с простой факторгруппой [math]\displaystyle{ G/N }[/math], все конечные группы могут быть построены как композиционные ряды [math]\displaystyle{ \{A_i\} }[/math], где каждая группа [math]\displaystyle{ A_{i+1} }[/math] является расширением [math]\displaystyle{ A_i }[/math] при помощи некоторой простой группы. Этот факт стал одним из важных стимулов для решения задачи классификации простых конечных групп.

Классификация расширений

Решение задачи расширения означает классификацию всех расширений группы [math]\displaystyle{ H }[/math] при помощи [math]\displaystyle{ K }[/math], или, более конкретно, выражение всех таких расширений в терминах математических объектов, которые в каком-либо их смысле проще (легко вычислить или хорошо изучены). В общем случае эта задача очень трудна, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Для задачи классификации важным понятием является эквивалентности расширений; говорят, что расширения:

[math]\displaystyle{ 1 \to K\stackrel{i}{{}\to{}} G\stackrel{\pi}{{}\to{}} H\to 1 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ 1\to K\stackrel{i'}{{}\to{}} G'\stackrel{\pi'}{{}\to{}} H\to 1 }[/math]

эквивалентны (или конгруэнтны), если существует изоморфизм группы [math]\displaystyle{ T: G\to G' }[/math], делающий коммутативной диаграмму:

Фактически, достаточно иметь группу гомоморфизмов. Вследствие предполагаемой коммутативности диаграммы отображение вынужденно будет изоморфизмом по короткой лемме о пяти гомоморфизмах.

Может случиться, что расширения [math]\displaystyle{ 1\to K\to G\to H\to 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ 1\to K\to G^\prime\to H\to 1 }[/math] не эквивалентны, но [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ G' }[/math] изоморфны как группы. Например, имеется [math]\displaystyle{ 8 }[/math] неэквивалентных расширений четверной группы Клейна с помощью [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} }[/math], но существуют, с точностью до изоморфизма, только четыре группы порядка 8, содержащие нормальную подгруппу порядка [math]\displaystyle{ 2 }[/math] с факторгруппой, изоморфной четверной группе Клейна.

Тривиальные расширения

Тривиальное расширение — это расширение:

[math]\displaystyle{ 1\to K\to G\to H\to 1 }[/math],

которое эквивалентно расширению:

[math]\displaystyle{ 1\to K\to K\times H\to H\to 1 }[/math],

где левая и правая стрелки являются соответственно включением и проекцией каждого множителя [math]\displaystyle{ K\times H }[/math].

Классификации расщепляемых расширений

Расщепляемое расширение — это расширение:

[math]\displaystyle{ 1\to K\to G\to H\to 1 }[/math]

с гомоморфизмом [math]\displaystyle{ s\colon H \to G }[/math], таким что переход от [math]\displaystyle{ H }[/math] к [math]\displaystyle{ G }[/math] с помощью [math]\displaystyle{ s }[/math], а затем обратно к [math]\displaystyle{ H }[/math] по факторотображению короткой точной последовательности порождает тождественное отображение на [math]\displaystyle{ H }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \pi \circ s=\mathrm{id}_H }[/math]. В этой ситуации обычно говорят, что [math]\displaystyle{ s }[/math] расщепляет вышеупомянутую точную последовательность.

Расщепляемые расширения очень легко классифицировать, поскольку расширение расщепляемо тогда и только тогда, когда группа [math]\displaystyle{ G }[/math] является полупрямым произведением [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math]. Полупрямые произведения сами по себе легко классифицировать, поскольку они взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам [math]\displaystyle{ H\to\operatorname{Aut}(K) }[/math], где [math]\displaystyle{ \operatorname{Aut}(K) }[/math] является группой автоморфизмов [math]\displaystyle{ K }[/math].

Центральное расширение

Центральное расширение группы [math]\displaystyle{ G }[/math] является короткой точной последовательностью групп

[math]\displaystyle{ 1\to A\to E\to G\to 1 }[/math]

такой что [math]\displaystyle{ A }[/math] лежит в [math]\displaystyle{ Z(E) }[/math] (центре группы [math]\displaystyle{ E }[/math]). Множество классов изоморфизмов центральных расширений группы [math]\displaystyle{ G }[/math] с помощью [math]\displaystyle{ A }[/math] (где [math]\displaystyle{ G }[/math] действует тривиально на [math]\displaystyle{ A }[/math]) является взаимно-однозначным соответствием с группой когомологий [math]\displaystyle{ H^2(G, A) }[/math].

Примеры центральных расширений могут быть построены путём взятия любой группы [math]\displaystyle{ G }[/math] и любой абелевой группы [math]\displaystyle{ A }[/math], полагая [math]\displaystyle{ E }[/math] равным [math]\displaystyle{ A \times G }[/math]. Этот вид расщепляемого примера (расщепляемое расширение в смысле задачи расширения, поскольку [math]\displaystyle{ G }[/math] является подгруппой [math]\displaystyle{ E }[/math]) не представляет особого интереса, поскольку он соответствует элементу [math]\displaystyle{ 0 }[/math] в [math]\displaystyle{ H^2(G, A) }[/math] согласно вышеупомянутому соответствию. Более серьёзные примеры найдены в теории проективных представлений в случаях, когда проективные представления не могут быть подняты до обычных линейных представлений.

В случае конечных совершенных групп имеется универсальное совершенное центральное расширение.

Аналогично, центральное расширение алгебры Ли [math]\displaystyle{ \mathfrak{g} }[/math] является точной последовательностью

[math]\displaystyle{ 0\rightarrow \mathfrak{a}\rightarrow\mathfrak{e}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0, }[/math]

такой что [math]\displaystyle{ \mathfrak{a} }[/math] находится в центре [math]\displaystyle{ \mathfrak{e} }[/math].

Существует общая теория центральных расширений в многообразиях Мальцева.

Группы Ли

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией. Грубо говоря, центральные расширения групп Ли с помощью дискретных групп это то же самое, что накрывающие группы. Более точно, связное накрывающее пространство [math]\displaystyle{ G^\ast }[/math] связной группы Ли [math]\displaystyle{ G }[/math] является естественным центральным расширением группы [math]\displaystyle{ G }[/math], при этом проекция

[math]\displaystyle{ \pi\colon G^* \to G }[/math]

является группой гомоморфизмов и сюръективна. (Структура группы на [math]\displaystyle{ G^\star }[/math] зависит от выбора отображения тождественного элемента в тождественный элемент [math]\displaystyle{ G }[/math].) Например, когда [math]\displaystyle{ G^\star }[/math] является универсальным накрытием группы [math]\displaystyle{ G }[/math], ядро [math]\displaystyle{ \pi }[/math] является фундаментальной группой группы [math]\displaystyle{ G }[/math], которое, как известно, абелево (H-пространство). Обратно, если дана группа Ли [math]\displaystyle{ G }[/math] и дискретная центральная подгруппа [math]\displaystyle{ Z }[/math], факторгруппа [math]\displaystyle{ G/Z }[/math] является группой Ли, а [math]\displaystyle{ G }[/math] является её накрывающим пространством.

Более общо, если группы [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] в центральном расширении являются группами Ли и отображения между ними являются гомоморфизмами группы Ли, то если алгеброй Ли группы [math]\displaystyle{ G }[/math] является [math]\displaystyle{ \mathfrak g }[/math], алгеброй [math]\displaystyle{ A }[/math] является [math]\displaystyle{ \mathfrak a }[/math], а алгеброй [math]\displaystyle{ E }[/math] является [math]\displaystyle{ \mathfrak e }[/math], то [math]\displaystyle{ \mathfrak e }[/math] является центральным расширением алгебры Ли [math]\displaystyle{ \mathfrak g }[/math] с помощью [math]\displaystyle{ \mathbf a }[/math]. В терминологии теоретической физики генераторы алгебры [math]\displaystyle{ \mathfrak a }[/math] называются центральными зарядами. Эти генераторы лежат в центре алгебры [math]\displaystyle{ \mathfrak e }[/math]. По теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам и называются зарядами.

Основные примеры центральных расширений как накрывающих групп:

• спинорные группы, которые дважды накрывают специальные ортогональные группы, которые (в чётной размерности) дважды накрывают проективную ортогональную группу;
• метаплектические группы, которые дважды накрывают симплектические группы.

Случай [math]\displaystyle{ SL_2(\mathbf R) }[/math] вовлекает фундаментальную группу, которая является бесконечной циклической группой; здесь центральное расширение хорошо известно из теории модулярных форм для случая форм с весом [math]\displaystyle{ \tfrac{1}{2} }[/math]. Соответствующее проективное представление является представлением Вейля, построенным из преобразования Фурье, в этом случае, на вещественной оси. Метаплектические группы появляются также в квантовой механике.

См. также

• Расширение алгебры Ли
• Расширение кольца
• Алгебра Вирасоро
• HNN-расширение
• Расширение топологической группы

Литература

• David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstract algebra. — third edition. — Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. — ISBN 0-471-43334-9.
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
• Taylor R.L. Covering groups of non connected topological groups // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1954. — Т. 5. — С. 753–768.
• Brown R., Mucuk O. Covering groups of non-connected topological groups revisited // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1994. — Т. 115. — С. 97–110.
• Brown R., Porter T. On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1996. — Т. 96A. — С. 213–227.
• Janelidze G., Kelly G. M. Central extensions in Malt'sev varieties // Theory and Applications of Categories. — 2000. — Т. 7. — С. 219–226.
• Morandi P. J. Group Extensions and [math]\displaystyle{ H^3 }[/math].
• Group extensions (неопр.). Group​Names. Дата обращения: 14 июня 2019.