Модулярная группа

Модулярная группа — группа [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] всех преобразований Мёбиуса вида

[math]\displaystyle{ z\mapsto\frac{az+b}{cz+d}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a,\;b,\;c,\;d }[/math] — целые числа, причём [math]\displaystyle{ ad-bc=1 }[/math].

Модулярная группа отождествляется с факторгруппой [math]\displaystyle{ PSL(2,\Z)=SL(2,\;\Z)/\{I,\;-I\} }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ SL(2,\;\Z) }[/math] — группа матриц

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a,\;b,\;c,\;d }[/math] — целые числа, [math]\displaystyle{ ad-bc=1 }[/math].

Модулярная группа является дискретной группой преобразований верхней комплексной полуплоскости [math]\displaystyle{ H=\{z:\mathrm{Im}\,z\gt 0\} }[/math] (плоскости Лобачевского) и допускает представление образующими

[math]\displaystyle{ S:z\mapsto -1/z, }[/math]

[math]\displaystyle{ T:z\mapsto z+1 }[/math]

и соотношениями [math]\displaystyle{ S^2=(ST)^3=1 }[/math], то есть является свободным произведением циклической группы порядка 2, порождённой [math]\displaystyle{ S }[/math], и циклической группы порядка 3, порождённой [math]\displaystyle{ ST }[/math].

Для произвольного преобразования [math]\displaystyle{ g(z) = \frac{az+b}{cz+d} }[/math] из модулярной группы справедливо равенство:

[math]\displaystyle{ \mathrm{Im}\,g(z)=\frac{\mathrm{Im}\,z}{|cz+d|^2}.\qquad\qquad(1) }[/math]

Поскольку мнимая часть [math]\displaystyle{ z }[/math] ненулевая, а числа [math]\displaystyle{ c }[/math] и [math]\displaystyle{ d }[/math] — целые, не равные нулю одновременно, то величина [math]\displaystyle{ |cz+d|^2 }[/math] отделена от нуля (не может быть сколь угодно малой). Это означает, что в орбите любой точки есть такая, на которой мнимая часть достигает своего максимума.

Фундаментальная область (каноническая) модулярной группы — это замкнутая область

[math]\displaystyle{ D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm{Re}\,z|\leqslant 1/2\}. }[/math]

Легко проверить, используя (1), что преобразования модулярной группы не увеличивают мнимую часть точек из [math]\displaystyle{ D }[/math]. Из этого следует, что для того, чтобы две точки [math]\displaystyle{ z,\;g(z) }[/math] принадлежали [math]\displaystyle{ D }[/math], их мнимая часть должна быть одинакова: [math]\displaystyle{ |cz+d|^2=1 }[/math]. Таким условиям отвечают следующие преобразования и точки:

[math]\displaystyle{ g(z)=z,\;z }[/math] — любая точка;
[math]\displaystyle{ g(z)=z-1,\;\mathrm{Re}\,z=1/2; }[/math]
[math]\displaystyle{ g(z)=z+1,\;\mathrm{Re}\,z=-1/2; }[/math]
[math]\displaystyle{ g(z)=-1/z,\;|z|=1. }[/math]

В частности, все точки области [math]\displaystyle{ D }[/math] имеют тривиальный стабилизатор, кроме трёх:

[math]\displaystyle{ \mathrm{St}(i)=\{1,\;S\}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathrm{St}(e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^2\}; }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathrm{St}(-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^2\}. }[/math]

Кроме того, из этого следует что при факторизации верхней полуплоскости по действию модулярной группы внутренние точки [math]\displaystyle{ D }[/math] отображаются инъективно, тогда как граничные — склеиваются с точками, «зеркальными» к ним относительно прямой [math]\displaystyle{ \mathrm{Re}\,z=0 }[/math].

Чтобы показать, что всякая точка из [math]\displaystyle{ H }[/math] конгруэнтна некоторой точке из [math]\displaystyle{ D }[/math], рассмотрим в её орбите, порождённой преобразованиями [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math], точку с максимальной мнимой частью и с помощью целочисленного сдвига сдвинем так, чтобы вещественная часть её образа стала по модулю не больше, чем 1/2. Тогда образ принадлежит [math]\displaystyle{ D }[/math] (иначе, если бы его модуль был меньше 1, с помощью преобразования [math]\displaystyle{ S }[/math] можно было бы строго увеличить мнимую часть).

Легко показать также, что преобразования [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math] порождают всю модулярную группу. Пусть [math]\displaystyle{ g }[/math] — произвольное модулярное преобразование и [math]\displaystyle{ z }[/math] — внутренняя точка [math]\displaystyle{ D }[/math]. Как описано выше, найдём преобразование [math]\displaystyle{ g' }[/math] переводящее [math]\displaystyle{ g(z) }[/math] в область [math]\displaystyle{ D }[/math]. Точки [math]\displaystyle{ z }[/math] и [math]\displaystyle{ g'g(z) }[/math] лежат в [math]\displaystyle{ D }[/math], причём [math]\displaystyle{ z }[/math] — внутренняя, следовательно, [math]\displaystyle{ g'g(z)=z }[/math]. Тогда преобразование [math]\displaystyle{ g'g }[/math] лежит в стабилизаторе точки [math]\displaystyle{ z }[/math], который тривиален. Следовательно, [math]\displaystyle{ g=(g')^{-1} }[/math] лежит в группе, порождённой преобразованиями [math]\displaystyle{ S }[/math] и [math]\displaystyle{ T }[/math].

Интерес к модулярной группе связан с изучением модулярных функций, римановой поверхностью которых является факторпространство [math]\displaystyle{ H/\,\Gamma }[/math], отождествляемое с фундаментальной областью [math]\displaystyle{ G }[/math] модулярной группы. Фундаментальная область [math]\displaystyle{ G }[/math] имеет конечную площадь (в смысле геометрии Лобачевского), то есть модулярная группа есть фуксова группа первого рода.