Перейти к содержанию

Порядок элемента

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Порядок элемента в теории групп — наименьшее положительное целое [math]\displaystyle{ m }[/math], такое что [math]\displaystyle{ m }[/math]-кратное групповое умножение данного элемента [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] на себя даёт нейтральный элемент:

[math]\displaystyle{ \underbrace{g g \dots g }_{m} = g^m = e }[/math].

Иными словами, [math]\displaystyle{ m }[/math] — количество различных элементов циклической подгруппы, порождённой данным элементом. Если такого [math]\displaystyle{ m }[/math] не существует (или, эквивалентно, число элементов циклической подгруппы бесконечно), то говорят, что [math]\displaystyle{ g }[/math] имеет бесконечный порядок. Обозначается как [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(g) }[/math] или [math]\displaystyle{ |g| }[/math].

Изучение порядков элементов группы может дать сведения о её структуре. Несколько глубоких вопросов о связи порядка элементов и порядка группы содержатся в различных проблемах Бёрнсайда, некоторые из них остаются открытыми.

Основные свойства

Порядок элемента равен единице тогда и только тогда, когда элемент является нейтральным.

Если всякий не нейтральный элемент в [math]\displaystyle{ G }[/math] совпадает со своим обратным (то есть [math]\displaystyle{ g^2 = e }[/math]), то [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(a) = 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] является абелевой, поскольку [math]\displaystyle{ ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba }[/math]. Обратное утверждение в общем случае неверно: например, (аддитивная) циклическая группа [math]\displaystyle{ \Z_6 }[/math] целых чисел по модулю 6 — абелева, но число 2 имеет порядок 3:

[math]\displaystyle{ 2+2+2=6 \equiv 0 \pmod {6} }[/math].

Для любого целого [math]\displaystyle{ k }[/math] тождество [math]\displaystyle{ g^k = e }[/math] выполнено тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(g) }[/math] делит [math]\displaystyle{ k }[/math].

Все степени элемента бесконечного порядка имеют также бесконечный порядок. Если [math]\displaystyle{ g }[/math] имеет конечный порядок, то порядок [math]\displaystyle{ g^k }[/math] равен порядку [math]\displaystyle{ g }[/math], делённому на наибольший общий делитель чисел [math]\displaystyle{ \mathrm {ord}(g) }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math]. Порядок обратного элемента совпадает с порядком самого элемента ([math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(g) = \mathrm{ord}(g^{-1}) }[/math]).

Связь с порядком группы

Порядок любого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметрической группе [math]\displaystyle{ S_3 }[/math], состоящей из шести элементов, нейтральный элемент [math]\displaystyle{ e }[/math] имеет (по определению) порядок 1, три элемента, являющихся корнями из [math]\displaystyle{ e }[/math] — порядок 2, а порядок 3 имеют два оставшихся элемента, являющихся корнями элементов порядка 2: то есть, все порядки элементов являются делителями порядка группы.

Частично обратное утверждение верно для конечных групп (теоретико-групповая теорема Коши): если простое число [math]\displaystyle{ p }[/math] делит порядок группы [math]\displaystyle{ G }[/math], то существует элемент [math]\displaystyle{ g \in G }[/math], для которого [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(g) =p }[/math]. Утверждение не выполняется для составных порядков, так, четверная группа Клейна не содержит элемента порядка четыре.

Порядок произведения

В любой группе [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(ab) = \mathrm{ord}(ba) }[/math].

Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения [math]\displaystyle{ ab }[/math] с порядками сомножителей [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math]. Возможен случай, когда и [math]\displaystyle{ a }[/math], и [math]\displaystyle{ b }[/math] имеют конечные порядки, в то время как порядок произведения [math]\displaystyle{ ab }[/math] бесконечен, также возможно, что и [math]\displaystyle{ a }[/math], и [math]\displaystyle{ b }[/math] имеют бесконечный порядок, в то время как [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(ab) }[/math] конечен. Пример первого случая — в симметрической группе над целыми числами перестановки, задаваемые формулами [math]\displaystyle{ a(x) = 2-x, b(x) = 1-x }[/math], тогда [math]\displaystyle{ ab(x) = x-1 }[/math]. Пример второго случая — перестановки в той же группе [math]\displaystyle{ a(x) = x+1, b(x) = x-1 }[/math], произведение которых является нейтральным элементом (перестановка [math]\displaystyle{ ab(x) = \mathrm{id} }[/math], оставляющая элементы на своих местах). Если [math]\displaystyle{ ab = ba }[/math] то можно утверждать, что [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(ab) }[/math] делит наименьшее общее кратное чисел [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(a) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(b) }[/math]. Следствием этого факта является, что в конечной абелевой группе порядок любого элемента делит максимальный порядок элементов группы.

Подсчёт по порядку элементов

Для данной конечной группы [math]\displaystyle{ G }[/math] порядка [math]\displaystyle{ n }[/math], число элементов с порядком [math]\displaystyle{ d }[/math] ([math]\displaystyle{ d }[/math] — делитель [math]\displaystyle{ n }[/math]) кратно [math]\displaystyle{ \varphi(d) }[/math], где [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — функция Эйлера, дающая число положительных чисел, не превосходящих [math]\displaystyle{ d }[/math] и взаимно простых с ним. Например, в случае [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] [math]\displaystyle{ \varphi(3) = 2 }[/math], и имеется в точности два элемента порядка 3; при этом данное утверждение не даёт никакой полезной информации относительно элементов порядка 2, поскольку [math]\displaystyle{ \varphi(2) = 1 }[/math], и очень ограниченную информацию о составных числах, таких как [math]\displaystyle{ d=6 }[/math], поскольку [math]\displaystyle{ \varphi(6)=2 }[/math], и в группе [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] имеется нуль элементов порядка 6.

Связь с гомоморфизмами

Гомоморфизмы групп имеют свойство понижать порядок элементов. Если [math]\displaystyle{ f: G \to H }[/math] является гомоморфизмом, и [math]\displaystyle{ g \in G }[/math] — элемент конечного порядка, то [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(f(g)) }[/math] делит [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(g) }[/math]. Если [math]\displaystyle{ f }[/math] инъективно, то [math]\displaystyle{ \mathrm{ord}(f(g)) = \mathrm{ord}(g) }[/math]. Этот факт может быть использован для доказательства отсутствия (инъективного) гомоморфизма между двумя какими-либо заданными группами. (Например, не существует нетривиального гомоморфизма [math]\displaystyle{ h: S_3 \to \Z_5 }[/math], поскольку любое число, за исключением нуля, в [math]\displaystyle{ \Z_5 }[/math] имеет порядок 5, а 5 не делит ни один из порядков 1, 2 и 3 элементов [math]\displaystyle{ S_3 }[/math].) Другим следствием является утверждение, что сопряжённые элементы имеют одинаковый порядок.

Литература