Произведение (теория категорий)

Произведение двух или более объектов — это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов — это в некотором смысле самый общий объект, имеющий морфизмы во все объекты семейства.

Определение

Пусть задано [math]\displaystyle{ \{X_i\}_{i \in I} }[/math] — индексированное семейство (не обязательно различных) объектов категории [math]\displaystyle{ C }[/math]. Объект [math]\displaystyle{ X }[/math] категории [math]\displaystyle{ C }[/math] вместе с семейством морфизмов [math]\displaystyle{ \pi_i\colon X \to X_i }[/math] является произведением семейства объектов [math]\displaystyle{ \{X_i\}_{i \in I} }[/math], если для любого объекта [math]\displaystyle{ Y\in C }[/math] и любого семейства морфизмов [math]\displaystyle{ f_i\colon\, Y \to X_i }[/math] существует единственный морфизм [math]\displaystyle{ f\colon\, Y\to X }[/math], для которого следующая диаграмма:

Universal product of the product

коммутативна для каждого [math]\displaystyle{ i \in I }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ \pi_i \circ f = f_i }[/math]). Морфизмы [math]\displaystyle{ \pi_i }[/math] называются каноническими проекциями.

Приведенное определение равносильно следующему:

Объект [math]\displaystyle{ X }[/math] вместе с семейством проекций [math]\displaystyle{ \{\pi_i\}_{i \in I} }[/math] является произведением семейства объектов [math]\displaystyle{ \{X_i\}_{i \in I} }[/math] тогда и только тогда, когда для любого объекта [math]\displaystyle{ Y\in C }[/math] отображение

[math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_{C}(Y,X) \rightarrow \prod_{i\in I} \mathrm{Hom}_{C}(Y,X_i),\; f\mapsto \prod_{i\in I} (\pi_i \circ f) }[/math]

биективно.

Произведение двух объектов обычно обозначают [math]\displaystyle{ X_1 \times X_2 }[/math], при этом диаграмма принимает вид

Universal product of the product

Морфизм [math]\displaystyle{ f }[/math] при этом иногда обозначается [math]\displaystyle{ \lang f_1,f_2 \rang }[/math].

Единственность результата операции [math]\displaystyle{ \lang -,- \rang }[/math] можно альтернативно выразить как равенство [math]\displaystyle{ \lang \pi_1 \circ h,\pi_2 \circ h \rang = h }[/math], верное для любых [math]\displaystyle{ h }[/math].

Примеры

• В категории множеств категорное произведение совпадает с декартовым.
• В категории топологических пространств произведению пространств соответствует пространство, носитель которого является декартовым произведением носителей сомножителей, а топология определяется как произведение их топологий.
• В категории групп произведение групп определяется как их прямое произведение.
• В категории проективных многообразий категорное произведение можно задать при помощи вложения Сегре.
• Частично упорядоченное множество может рассматриваться как категория, в которой морфизм из [math]\displaystyle{ a }[/math] в [math]\displaystyle{ b }[/math] существует тогда и только тогда (по определению), когда [math]\displaystyle{ a \geqslant b }[/math] (причём между двумя объектами не может быть более одного морфизма). При этом произведением семейства линейно упорядоченных объектов является их наибольшая нижняя грань, а копроизведением — наименьшая верхняя грань.

Свойства

• Если произведение объектов существует, то оно единственно с точностью до изоморфизма.
• Коммутативность: [math]\displaystyle{ a \times b \simeq b \times a. }[/math]
• Ассоциативность: [math]\displaystyle{ (a\times b)\times c \simeq a\times (b\times c) }[/math]
• Если в категории существует терминальный объект [math]\displaystyle{ \ 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ a \times 1 \simeq 1 \times a \simeq a. }[/math]
• Приведённые выше свойства формально сходны со свойствами коммутативного моноида. Более точно, категория, в которой определено произведение любых двух объектов и имеется терминальный объект, является симметричной моноидальной категорией.

Дистрибутивность

В общем случае существует канонический морфизм [math]\displaystyle{ X\times Y+X\times Z \to X\times(Y+Z) }[/math], где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Свойство универсальности для [math]\displaystyle{ X\times(Y+Z) }[/math] гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

Матрица преобразований

Любой морфизм

[math]\displaystyle{ f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j }[/math]

порождает множество морфизмов

[math]\displaystyle{ f_{ij} \colon a_i \to b_j }[/math]

задаваемых по правилу [math]\displaystyle{ f_{ij} = \pi_j \circ f \circ \imath_i }[/math] и называемых матрицей преобразования. Обратно, любая матрица преобразования [math]\displaystyle{ f_{ij} \colon a_i \to b_j }[/math] задаёт единственный соответствующий морфизм [math]\displaystyle{ \scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{j\in J} b_j. }[/math] Если в категории существует нулевой объект [math]\displaystyle{ 0, }[/math] то для любых двух объектов [math]\displaystyle{ x,y }[/math] существует канонический нулевой морфизм: [math]\displaystyle{ 0_{xy}:x\to 0\to y. }[/math] В этом случае матрица преобразования [math]\displaystyle{ \scriptstyle f \colon \bigoplus_{i\in I} a_i \to \bigotimes_{i\in I} a_i }[/math], задаваемая по правилу

[math]\displaystyle{ f_{ij} = \left\{ \begin{matrix} 0_{a_ja_i},~ i\ne j \\ \mathrm{id}_{a_i},~ i=j \end{matrix} \right. }[/math]

называется единичной матрицей.

Пример

В категории конечномерных векторных пространств [math]\displaystyle{ \mathcal{V}ect_f }[/math] копроизведение пространств совпадает с их произведением и является их прямой суммой. В этом случае категорное и обычное определение матрицы преобразования совпадают, так как любое конечномерное пространство можно разложить в прямую сумму одномерных, а также и в прямое произведение одномерных. Различие состоит в том, что в категорном определении элементы матрицы — это преобразования одномерного пространства в одномерное, тогда как в обычном определении в этих одномерных пространствах выбраны базисы и можно указывать только координату образа базисного вектора пространства-прообраза в базисе пространства-образа.

См. также

• Копроизведение — понятие, двойственное произведению.
• Декартово замкнутая категория

Литература

• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов = Introduction to the theory of categpries and functors. — М.: Мир, 1972. — С. 39. — 259 с.
• Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
• Жаринов В. В. Некоторые алгебро-геометрические методы в математической физике. — С. 8. — 82 с.