Выразимость в радикалах

Не следует путать с радикалом целого числа.

Выразимость в радикалах означает возможность выразить число или функцию через простейшие числа или функции при помощи извлечения корня целой степени и арифметических операций — сложения, вычитания, умножения, деления.

Для чисел

Первичные определения

Стандартное определение

Элемент [math]\displaystyle{ a }[/math] поля [math]\displaystyle{ F }[/math] называется выразимым в радикалах над подполем [math]\displaystyle{ G }[/math] поля [math]\displaystyle{ F }[/math], если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля [math]\displaystyle{ G }[/math], значение которого равно [math]\displaystyle{ a }[/math]. В случае, если в поле [math]\displaystyle{ F }[/math] корень является многозначной функцией, считается достаточным равенство числа [math]\displaystyle{ a }[/math] хотя бы одному из возможных значений алгебраического выражения.

Иначе говоря, множество выразимых в радикалах чисел состоит из множества значений всех рациональных выражений, частных сумм радикалов от значений рациональных выражений и частных сумм вложенных радикалов от значений рациональных выражений.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] является подполем поля [math]\displaystyle{ F }[/math]. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей [math]\displaystyle{ G_0\subset G_1\subset\dots\subset G_s }[/math], что [math]\displaystyle{ G_0=G }[/math] и [math]\displaystyle{ G_i=G_{i-1}(\alpha_i) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ i }[/math] от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ s }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] — такое число из поля [math]\displaystyle{ F }[/math], что для некоторого натурального [math]\displaystyle{ n_i }[/math] число [math]\displaystyle{ \alpha_i^{n_i} }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ G_{i-1} }[/math]. Число [math]\displaystyle{ a\in F }[/math] называется выразимым в радикалах над подполем [math]\displaystyle{ G }[/math] поля [math]\displaystyle{ F }[/math], если при некотором [math]\displaystyle{ s }[/math] для него найдутся такие наборы [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] и [math]\displaystyle{ n_i }[/math], что [math]\displaystyle{ a\in G_s }[/math].

Прочие определения

• Действительное число [math]\displaystyle{ x }[/math] называется выразимым в действительных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] поля действительных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. Корни чётной степени в принимающем значение [math]\displaystyle{ x }[/math] алгебраическом выражении при этом позволяется брать только из неотрицательных чисел, то есть значение любого подвыражения рассматриваемого выражения должно иметь нулевую мнимую часть.
• Комплексное число [math]\displaystyle{ z }[/math] (которое может являться и действительным) называется выразимым в комплексных радикалах, если оно выразимо в радикалах над подполем рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math] поля комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. Выразимое в действительных радикалах число всегда является выразимым в комплексных радикалах. Первичное возникновение комплексных чисел в алгебраическом выражении, принимающем значение [math]\displaystyle{ z }[/math], может происходить только благодаря извлечению корня чётной степени из отрицательных чисел. Для упрощения работы с неоднозначностью корней [math]\displaystyle{ n }[/math]-ой степени в комплексных числах применяются различные методы указания на то, какой из корней является необходимым для получения данного числа: например, комплексные корни из единицы, являющиеся важными константами, пронумерованы явно в порядке против часовой стрелки на стандартной комплексной плоскости, начиная с самой единицы.
• Элемент [math]\displaystyle{ a }[/math] поля [math]\displaystyle{ F }[/math] называется выразимым в радикалах степени [math]\displaystyle{ n }[/math] над подполем [math]\displaystyle{ G }[/math] поля [math]\displaystyle{ F }[/math], если некоторое алгебраическое выражение с числами из [math]\displaystyle{ G }[/math], значение которого равно [math]\displaystyle{ a }[/math], из возможных корней содержит только корни степени [math]\displaystyle{ n }[/math]. В частности, при [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] число [math]\displaystyle{ a }[/math] называется выразимым в квадратных радикалах, а при [math]\displaystyle{ n=3 }[/math] выразимым в кубических радикалах. Возможны также комбинации: например, числа [math]\displaystyle{ \sqrt{2+\sqrt[3]{2}} }[/math] и [math]\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt[3]{2} }[/math] являются выразимыми в квадратных и кубических радикалах над полем рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]. Определение, не выходящее за рамки стандартного формального языка, имеет следующий вид: элемент [math]\displaystyle{ a }[/math] поля [math]\displaystyle{ F }[/math] называется выразимым в радикалах степени [math]\displaystyle{ n }[/math] над подполем [math]\displaystyle{ G }[/math] поля [math]\displaystyle{ F }[/math], если он выразим в радикалах над полем [math]\displaystyle{ G }[/math] и все [math]\displaystyle{ n_i }[/math], участвующие в определении выразимости в радикалах для [math]\displaystyle{ a }[/math], данном выше, равны [math]\displaystyle{ n }[/math].
• Число, выразимое в действительных квадратных радикалах, называется вещественно построимым.
• Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] — поле. Тогда поле [math]\displaystyle{ K(\sqrt[n]{a}) }[/math], где [math]\displaystyle{ a\in K }[/math] и [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a} \notin K }[/math], называется радикальным расширением поля [math]\displaystyle{ K }[/math]. Таким образом, в построенной выше цепочке полей [math]\displaystyle{ G_0\subset G_1\subset\dots\subset G_s }[/math] каждое следующее является некоторым радикальным расширением предыдущего. В случае [math]\displaystyle{ n=2 }[/math] указанное поле называется квадратичным расширением поля [math]\displaystyle{ K }[/math], то есть число, выразимое в квадратных радикалах, принадлежит очередному полю в цепочке квадратичных расширений изначального подполя.
• Число, выразимое в радикалах, называется выразимым за [math]\displaystyle{ n }[/math] радикалов, если среди всех равных ему алгебраических выражений минимальное количество корней в них равно [math]\displaystyle{ n }[/math].

Примеры

• Число [math]\displaystyle{ \sqrt{3+\sqrt{8}} }[/math] выразимо в действительных квадратных радикалах, то есть вещественно построимо. Одновременно оно выразимо в действительных радикалах любой степени вида [math]\displaystyle{ 2^n }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — натуральное, так как [math]\displaystyle{ \sqrt{3+\sqrt{8}} = \sqrt[2^n]{\Big(3+\sqrt[2^n]{8^{2^{n-1}}}\Big)^{2^{n-1}}} }[/math].
• Число [math]\displaystyle{ \sqrt{6+\sqrt{32}}+\sqrt{6-\sqrt{32}} }[/math] также на первый взгляд кажется выразимым только в радикалах любой степени вида [math]\displaystyle{ 2^n }[/math], однако на самом деле оно выразимо в радикалах любой степени и любого вида, так как [math]\displaystyle{ \sqrt{6+\sqrt{32}}+\sqrt{6-\sqrt{32}} = 4 = \sqrt[n]{4^n} }[/math] для любого [math]\displaystyle{ n }[/math].
• Не всегда сразу можно определить и такое минимальное [math]\displaystyle{ n }[/math], что рассматриваемое число выразимо за [math]\displaystyle{ n }[/math] радикалов, так как с виду выразимое за два квадратных радикала число [math]\displaystyle{ \sqrt{17+\sqrt{288}} }[/math] на самом деле равно [math]\displaystyle{ \sqrt{9+2\cdot3\cdot\sqrt{8}+8} = \sqrt{(3+\sqrt{8})^2} = 3+\sqrt{8} }[/math] и является выразимым за один квадратный радикал.
• Больше подобных примеров приведено в статье вложенные радикалы.
• Число [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{1-\sqrt{\pi}} }[/math] выразимо в радикалах над подполем [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}(\pi) }[/math] поля [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], так как единственный корень чётной степени в данном алгебраическом выражении извлекается из неотрицательного числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math], но не выразимо в действительных радикалах, так как [math]\displaystyle{ \pi\notin\mathbb{Q} }[/math]. В отличие от предыдущих пунктов, в данном случае мы можем говорить о негативном свойстве рассматриваемого числа на основании конкретной его записи, так как, предположив, что оно выразимо в действительных радикалах, мы легко получили бы алгебраическое выражение для [math]\displaystyle{ \pi }[/math], которого не существует в силу трансцендентности этого числа (см. раздел общие свойства).

Пояснения

• Под выразимостью в радикалах в отношении действительного числа без прочих уточнений в литературе обычно подразумевается выразимость в комплексных радикалах.

Для функций, многочленов и уравнений

Первичные определения

Стандартное определение

Функция [math]\displaystyle{ f }[/math], принимающая значения в поле [math]\displaystyle{ F }[/math] и зависящая от некоторого количества параметров, называется выразимой в радикалах над подполем [math]\displaystyle{ G }[/math] поля [math]\displaystyle{ F }[/math], если существует алгебраическое выражение, в которое в качестве чисел входят только элементы поля [math]\displaystyle{ G }[/math] и указанные параметры, значение которого совпадает со значением [math]\displaystyle{ f }[/math] при любых допустимых значениях этих параметров.

Определение без использования отсылок к формальному языку математики

Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] является подполем поля [math]\displaystyle{ F }[/math]. Рассмотрим такую конечную цепочку вложенных полей [math]\displaystyle{ K_0\subset K_1\subset\dots\subset K_s }[/math], элементами которых являются функции из [math]\displaystyle{ F }[/math] (возможно, без нескольких точек воизбежание деления на ноль) в [math]\displaystyle{ F }[/math], что [math]\displaystyle{ K_0 }[/math] состоит из всех рациональных функций над [math]\displaystyle{ G }[/math], а [math]\displaystyle{ K_i=K_{i-1}(f_i) }[/math] для любого [math]\displaystyle{ i }[/math] от [math]\displaystyle{ 1 }[/math] до [math]\displaystyle{ s }[/math], где [math]\displaystyle{ f_i }[/math] — такая непрерывная функция на [math]\displaystyle{ F }[/math], что для некоторого натурального [math]\displaystyle{ n_i }[/math] функция [math]\displaystyle{ f_i^{n_i} }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ K_{i-1} }[/math]. Функция [math]\displaystyle{ f\colon F\to F }[/math] называется выразимой в радикалах над подполем [math]\displaystyle{ G }[/math] поля [math]\displaystyle{ F }[/math], если при некотором [math]\displaystyle{ s }[/math] для неё найдутся такие наборы [math]\displaystyle{ f_i }[/math] и [math]\displaystyle{ n_i }[/math], что [math]\displaystyle{ f\in K_s }[/math].

Прочие определения

• Многозначная функция [math]\displaystyle{ f }[/math] называется выразимой в радикалах над подполем [math]\displaystyle{ G }[/math], если все выделяемые из неё однозначные функции также выразимы в радикалах над подполем [math]\displaystyle{ G }[/math].
• Многочлен от одной переменной, зависящий от некоторого количества параметров (определяющих некоторые его коэффициенты), называется разрешимым в радикалах, если выразима в радикалах непрерывная и, возможно, многозначная функция, сопоставляющая набору значений параметров соответствующий ему набор корней многочлена.
• Алгебраическое уравнение называется разрешимым в радикалах, если разрешим в радикалах многочлен, приравнивающийся к нулю в этом уравнении.
• К функциям и многочленам применимы все ограничения определения выразимости и разрешимости в радикалах соответственно, указанные выше. Например, функция [math]\displaystyle{ f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} }[/math], определённая как [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x-\sqrt{x}} }[/math] на всей действительной прямой, выразима в квадратных комплексных радикалах.

Примеры

• Многозначная функция [math]\displaystyle{ f(x)\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} }[/math], [math]\displaystyle{ f(x) = \sqrt{x}+\pi+\sqrt[3]{x} }[/math] выразима в радикалах, так как все шесть выделяемых из неё однозначных функций [math]\displaystyle{ g(x) }[/math] удовлетворяют условию [math]\displaystyle{ g(x) = \sqrt{x}+\pi+\sqrt[3]{x} }[/math], где [math]\displaystyle{ \sqrt{x}+\pi+\sqrt[3]{x} }[/math] — алгебраическое выражение, использующее только переменную, выступающую в качестве аргумента функции, и комплексные числа.
• Многочлен [math]\displaystyle{ x^5+2ax^3+a^2x }[/math] разрешим в комплексных квадратных радикалах, так как при любом [math]\displaystyle{ a }[/math] его корни задаются функцией [math]\displaystyle{ x\mapsto 0, \sqrt{-a}, -\sqrt{-a} }[/math]. Однако разрешимым в действительных радикалах этот многочлен может являться только при том ограничении, что число [math]\displaystyle{ a }[/math] принадлежит множеству неположительных чисел.

Пояснения

• В случае с комплексной функцией без уточнения подполя [math]\displaystyle{ G }[/math] оно обычно подразумевается равным тому же множеству комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math].
• Важно отметить тот факт, что выразимость в радикалах функции и выразимость в радикалах образа каждого элемента при её применении не равносильны: к примеру, удовлетворяющая второму условию функция на [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] может не быть непрерывной, в то время как для удовлетворяющей первому условию это требование обязательно.

Общие свойства

• Множества выразимых в радикалах чисел и выразимых в радикалах функций являются полями, содержащими поля, над которыми они выразимы в радикалах, в качестве подполей.
• Любое выразимое в радикалах комплексное число является алгебраическим, однако не любое алгебраическое число выразимо в радикалах. Первое утверждение следует из алгебраичности рациональных чисел и из того, что множество алгебраических чисел является полем (на каждом шаге перехода от [math]\displaystyle{ G_{i-1} }[/math] к [math]\displaystyle{ G_i }[/math] в определении выразимого в радикалах числа алгебраические числа порождают только алгебраические). Второе утверждение следует из нижеследующей теоремы о существовании уравнения [math]\displaystyle{ 5 }[/math] степени с целыми коэффициентами, хотя бы один из корней которого невыразим в радикалах. Точно также, любая выразимая в радикалах функция является алгебраической, в то время как не всякая алгебраическая функция выразима в радикалах. Иными словами, поле алгебраических чисел содержит поле чисел, выразимых в радикалах, а поле алгебраических функций содержит поле функций, выразимых в радикалах, однако обратные утверждения неверны.
• Любая выразимая в радикалах функция переводит множества чисел, выразимых в радикалах, алгебраических чисел и трансцендентных чисел над тем же полем внутрь них самих. В случае, если аргумент многозначной выразимой в радикалах функции целиком состоит из чисел одного из этих множеств, образ также попадает в него. Однако только последние два множества всегда целиком являются образами себя. Получить выразимое в радикалах число, получаемое при применении выразимой в радикалах функции только к невыразимым в радикалах числам, можно следующим образом: возьмём многочлен [math]\displaystyle{ 5 }[/math] степени с целыми коэффициентами, ни один из корней которого не выразим в радикалах и свободный член которого не равен нулю (по теореме Кронекера, описанной ниже, в качестве такого многочлена может подойти, к примеру, [math]\displaystyle{ x^5-4x+2 }[/math]). Тогда функция, заданная таким многочленом без свободного члена, принимает равное ему значение только в корнях этого многочлена, невыразимых в радикалах, в то время как сам свободный член является целым числом и, очевидно, выражается в любых радикалах.

Геометрические и тригонометрические теоремы

• Основная теорема теории геометрических построений: при наличии на плоскости отрезка длины [math]\displaystyle{ 1 }[/math] отрезок длины [math]\displaystyle{ x }[/math] построим циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда число [math]\displaystyle{ x }[/math] является вещественно построимым (то есть выразимо в квадратных действительных радикалах). Отсюда следует невозможность квадратуры круга и удвоения куба циркулем и линейкой, поскольку в итоге будут получены непостроимые вещественно числа [math]\displaystyle{ \sqrt{\pi} }[/math] и [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2} }[/math] соответственно.
• В более общем виде рассмотренная выше теорема звучит так: при данных отрезках длин [math]\displaystyle{ a_1, a_1,\dots ,a_n }[/math] отрезок длины [math]\displaystyle{ a }[/math] можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{Q}(a_1, a_1,\dots ,a_n) }[/math].
• Теорема Гаусса: Число [math]\displaystyle{ \cos\Big(\frac{2\pi}{n}\Big) }[/math] вещественно построимо тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ n=2^kp_1p_2\dots p_k }[/math], где все [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — попарно различные простые числа Ферма. Из данной теоремы, в частности, следует, что число [math]\displaystyle{ \cos\Big(\frac{2\pi}{9}\Big) }[/math] не является вещественно построимым, то есть провести циркулем и линейкой трисекцию угла [math]\displaystyle{ \cos\Big(\frac{2\pi}{3}\Big) }[/math], а значит, и произвольного угла, невозможно. Аналогичным образом доказывается невозможность разбиения произвольного угла на любое количество равных частей, не являющееся степенью двойки — если бы такое разбиение было возможно, то можно было бы построить углы вида [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{a^2} }[/math], что возможно только при [math]\displaystyle{ a=2^k }[/math].

Список алгебраических выражений для тригонометрических функций некоторых углов приведён в статье Тригонометрические константы. Побочный результат рассмотренной теоремы состоит в том, что значения тригонометрических функций в угле, составляющем целое число градусов, выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда это число делится на [math]\displaystyle{ 3 }[/math].

• Теорема Гаусса — Ванцеля также сразу следует из приведённой выше теоремы Гаусса и гласит, что правильный [math]\displaystyle{ n }[/math]-угольник может быть построен циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ n=2^kp_1p_2\dots p_k }[/math], где все [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — попарно различные простые числа Ферма, то есть тогда и только тогда, когда косинус его центрального угла, равного [math]\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}\,(\mathrm{rad}) }[/math], вещественно построим.
• Несмотря на указанные выше факты, косинус любого угла, кратного [math]\displaystyle{ \pi \,(\mathrm{rad}) }[/math], выразим в комплексных радикалах, так как [math]\displaystyle{ \cos\Big(\frac{2\pi}{n}\Big) = \frac{1}{2}\Big(u_2 + \frac{1}{u_2}\Big) }[/math], где [math]\displaystyle{ u_2 }[/math] — второй в стандартной нумерации корень из единицы после самой единицы, а число [math]\displaystyle{ \cos\Big(\frac{2\pi m}{n}\Big) }[/math] выражается через [math]\displaystyle{ \cos\Big(\frac{2\pi}{n}\Big) }[/math] или [math]\displaystyle{ \sin\Big(\frac{2\pi}{n}\Big) = \pm\sqrt{1-\cos^2\Big(\frac{2\pi}{n}\Big)} }[/math] при помощи многочленов Чебышёва. Однако даже в тех случаях, когда косинус данного угла выразим только в комплексных радикалах произвольной степени, но не в квадратных действительных, минимальная степень радикалов соответствующего выражения не обязательно равна [math]\displaystyle{ n }[/math]: например, [math]\displaystyle{ \cos\Big(\frac{2\pi}{7}\Big) = \frac{1}{6}\left(-1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{-3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{-3}}{2}}\right) }[/math], то есть это число выразимо в квадратных и кубических радикалах (в данном случае для получения верного значения среди возможных девяти следует взять значения кубических корней с наибольшей действительной частью).

Теоремы о функциях

• Группа Галуа выражающейся в комплексных радикалах функции разрешима. (В данном случае под "группой Галуа функции" подразумевается группа перестановок листов римановой поверхности функции, порождённая кольцевыми перестановками вокруг точек разветвления этой поверхности.)
• Производная функции, выражающейся в радикалах, также выражается в радикалах, поскольку производные всех допустимых в алгебраических выражениях арифметических операций, применённых к функциям, являются алгебраическими выражениями, использующими только значения этих функций и, в случае с корнем, его степень, в качестве переменных:

[math]\displaystyle{ \left({f \pm g}\right)' = f' \pm g' }[/math]

[math]\displaystyle{ \left({fg}\right)' = f'g + fg' }[/math]

[math]\displaystyle{ \left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{x}' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} }[/math]

• Однако обратное неверно: например, производные обратных тригонометрических функций выразимы в радикалах над [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math], в то время как сами обратные тригонометрические функции являются трансцендентными функциями, то есть не являются алгебраическими (а любая выразимая в радикалах функция, как уже было сказано выше, является алгебраической):

[math]\displaystyle{ \arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \arccos'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{arctg}'(x) = \frac{1}{\ 1+x^2}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{arcctg}'(x) = -\frac{1}{\ 1+x^2}. }[/math]

Теоремы о многочленах

• Многочлен разрешим в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа в общем виде разрешима.
• Теорема Кронекера: хотя бы один из корней неприводимого в рациональных числах уравнения простой степени [math]\displaystyle{ n }[/math] с целыми коэффициентами выразим в радикалах как число только в том случае, если среди них ровно один или ровно [math]\displaystyle{ n }[/math] действительных. Из этого путём построения неприводимого многочлена [math]\displaystyle{ 5 }[/math] степени с целыми коэффициентами и тремя действительными корнями (примером такого многочлена может служить [math]\displaystyle{ x^5-4x-2 }[/math]) мгновенно выводится частный случай следующей теоремы для поля рациональных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]:
• Теорема Абеля-Руффини, гласящая, что уравнения любой степени, не меньшей [math]\displaystyle{ 5 }[/math], с целыми коэффициентами не разрешимы в радикалах в общем виде (то есть при параметризации всех их коэффициентов).
• Однако уравнения с целыми коэффициентами степени до [math]\displaystyle{ 4 }[/math] включительно разрешимы (см. Линейное уравнение, Квадратное уравнение, Кубическое уравнение, Уравнение четвёртой степени). При этом линейные уравнения разрешимы и без использования радикалов, квадратные — только с использованием квадратных радикалов (а при действительных корнях ещё и действительных), кубические и четвёртой степени — только с использованием действительных квадратных и комплексных кубических радикалов . Более того, как видно из формул для решения всех этих уравений (для [math]\displaystyle{ 3 }[/math] и [math]\displaystyle{ 4 }[/math] степеней см. Формула Кардано и Формула Феррари), они разрешимы даже над полем рациональных чисел.

Формулы для решения уравнений степеней [math]\displaystyle{ 1 }[/math], [math]\displaystyle{ 2 }[/math], [math]\displaystyle{ 3 }[/math]

1. [math]\displaystyle{ ax+b=0 \Leftrightarrow x=-\frac{b}{a} }[/math].
2. [math]\displaystyle{ ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} }[/math]
3. Одно из решений уравнения [math]\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=0 }[/math] равно [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}} +\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}-\frac{b}{3a} }[/math], где [math]\displaystyle{ p = \frac{3ac - b^2}{3a^2} }[/math] и [math]\displaystyle{ q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} }[/math] (следует взять такие значения кубических корней, чтобы число [math]\displaystyle{ -\frac{p}{3} }[/math] было равно их произведению). Путём вынесения множителя с этим корнем кубическое уравнение преобразовывается в произведение линейного и квадратного, решения для которых даны выше.

Полная формула для одного из решений уравнения [math]\displaystyle{ 3 }[/math] степени

[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{\left(-\frac{b^{3}}{27 a^{3}}+\frac{b c}{6 a^{2}}-\frac{d}{2 a}\right)+\sqrt{\left(-\frac{b^{3}}{27 a^{3}}+\frac{b c}{6 a^{2}}-\frac{d}{2 a}\right)^{2}+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^{2}}{9 a^{2}}\right)^{3}}} + \sqrt[3]{\left(-\frac{b^{3}}{27 a^{3}}+\frac{b c}{6 a^{2}}-\frac{d}{2 a}\right)-\sqrt{\left(-\frac{b^{3}}{27 a^{3}}+\frac{b c}{6 a^{2}}-\frac{d}{2 a}\right)^{2}+\left(\frac{c}{3 a}-\frac{b^{2}}{9 a^{2}}\right)^{3}}} - \frac{b}{3a} }[/math]

Формулы для степени [math]\displaystyle{ 4 }[/math] в полной форме слишком громоздки.

• Уравнения более узкого класса, называемые возвратными, разрешимы в радикалах вплоть до [math]\displaystyle{ 9 }[/math] степени включительно. Возвратные многочлены нечётной степени [math]\displaystyle{ 2n+1 }[/math] имеют вид [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(a_kx^k(x^{2n-2k+1} + \lambda^{2n-2k+1})) }[/math] и представляются в виде произведения скобки [math]\displaystyle{ (x+\lambda) }[/math] и некоторого возвратного же уравнения чётной степени, а оно, в свою очередь, выглядит следующим образом: [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda^k)) }[/math] и может быть при [math]\displaystyle{ x\neq 0 \Leftrightarrow \lambda,a_0\neq 0 }[/math] записано в виде [math]\displaystyle{ x^n\sum_{k=0}^n\Big(a_{n-k}\Big(x^k+\Big(\frac{\lambda}{x}\Big)^k\Big)\Big) }[/math], что при откидывании первого множителя может быть преобразовано в многочлен относительно [math]\displaystyle{ \Big(x+\frac{\lambda}{x}\Big) }[/math] степени [math]\displaystyle{ n }[/math]. По приведённой выше теореме Абеля-Руффини такое уравнение разрешимо в радикалах вплоть до [math]\displaystyle{ n=4 }[/math], следовательно, возвратное уравнение разрешимо в радикалах вплоть до степени [math]\displaystyle{ 2\cdot4+1=9 }[/math].
• Также нетрудно убедиться по индукции по [math]\displaystyle{ n }[/math], что разрешимы в радикалах в общем виде многочлены вида [math]\displaystyle{ P_1(P_2(\dots P_n(x)\dots)) }[/math], где [math]\displaystyle{ P_1,P_2,\dots P_n }[/math] — многочлены степени не выше [math]\displaystyle{ 4 }[/math]. Частный случай вида [math]\displaystyle{ P(x^2) }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] - многочлен [math]\displaystyle{ 2 }[/math] степени, называется биквадратным уравнением и, будучи записанным в виде [math]\displaystyle{ ax^4+bx^2+c }[/math], имеет четыре корня, равные [math]\displaystyle{ \pm \sqrt{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}} }[/math].
• Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — неприводимый многочлен над полем [math]\displaystyle{ K }[/math], а [math]\displaystyle{ L }[/math] — поле его разложения. Многочлен [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] разрешим в квадратных радикалах тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \dim_KL=2^n }[/math] (то есть размерность [math]\displaystyle{ L }[/math] как линейного пространства над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] равна [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] для некоторого натурального [math]\displaystyle{ n }[/math]).

Происхождение термина

Под «радикалами» во всех рассмотренных словосочетаниях подразумеваются математические корни целой степени — это слово ведёт своё происхождение от латинского слова «radix», имеющего, помимо прочего, то же значение. Так как операции сложения и умножения вместе с обратными к ним, также разрешённые в алгебраических выражениях, формально определяются до возведения в степень, а значит, и корня, именно корень, как "крайняя" допустимая операция, фигурирует в названии свойства.

Литература

• "Решение уравнений с использованием одного радикала" (Летняя конференция Турнира Городов)
• А.Скопенков "Ещё несколько доказательств из Книги: разрешимость и неразрешимость уравнений в радикалах"
• Лекция в НИУ ВШЭ
• Алексеев В.Б. "Теорема Абеля в задачах и решениях"