Метод Феррари

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание метода

Пусть уравнение [math]\displaystyle{ 4 }[/math]-й степени имеет вид

[math]\displaystyle{ x^4+ax^3+bx^2+cx+d = 0 }[/math].

(1)

Если [math]\displaystyle{ y_1 }[/math] — произвольный корень кубического уравнения

[math]\displaystyle{ y^3-b y^2+(ac-4d)y-a^2 d+4 b d-c^2=0 }[/math]

(2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

[math]\displaystyle{ x^2+\frac{a}{2}x+\frac{y_1}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{a^2}{4}-b+y_1\right)x^2+\left(\frac{a}{2}y_1-c\right)x+\frac{y^2_1}{4}-d}, }[/math]

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

[math]\displaystyle{ A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0, }[/math]

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

[math]\displaystyle{ \alpha = - {3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \beta = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma = -{3 B^4 \over 256 A^4} + {B^2 C \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}, }[/math]

если [math]\displaystyle{ \beta=0 }[/math], тогда, решив [math]\displaystyle{ u^4+\alpha u^2 + \gamma = 0 }[/math] и, сделав подстановку [math]\displaystyle{ x=u-{B\over 4A} }[/math], найдём корни:

[math]\displaystyle{ x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2},\qquad\beta=0 }[/math].

[math]\displaystyle{ P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma, }[/math]

[math]\displaystyle{ Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8}, }[/math]

[math]\displaystyle{ R = -{Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}} }[/math], (любой знак квадратного корня подойдёт)

[math]\displaystyle{ U = \sqrt[3]{R} }[/math], (три комплексных корня, один из которых подойдёт)

[math]\displaystyle{ y = - {5 \over 6} \alpha +U + \begin{cases}U=0 &\to -\sqrt[3]{Q}\\U\ne 0 &\to {-P\over 3U}\end{cases}, }[/math]

[math]\displaystyle{ W=\sqrt{ \alpha + 2 y} }[/math]

[math]\displaystyle{ x = - {B \over 4 A} + { \pm_s W \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over W} \right) }\over 2 }. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ \pm_s }[/math] и [math]\displaystyle{ \pm_t }[/math] — два независимых параметра, каждый из которых равен либо [math]\displaystyle{ + }[/math], либо [math]\displaystyle{ - }[/math]. Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений [math]\displaystyle{ \pm_s }[/math] и [math]\displaystyle{ \pm_t }[/math] равно степени его кратности. В зависимости от выбора [math]\displaystyle{ U }[/math] (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.

Вывод

Пусть имеется уравнение канонического вида:

[math]\displaystyle{ \ x^4+ax^2+bx+c =0 }[/math]

Обозначим корни уравнения как [math]\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, x_4 }[/math]. Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

[math]\displaystyle{ \ x_1+ x_2+ x_3+ x_4=0: }[/math]

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

[math]\displaystyle{ \ x_3=-W+iV }[/math]

[math]\displaystyle{ \ x_4=-W-iV }[/math]

Причём [math]\displaystyle{ W }[/math], [math]\displaystyle{ V }[/math] — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

[math]\displaystyle{ \ x_1=W+iK }[/math]

[math]\displaystyle{ \ x_2=W-iK }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ K }[/math] может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

[math]\displaystyle{ \ a= x_1x_2+ x_1x_3+ x_1x_4+ x_2x_3+ x_2x_4+ x_3x_4= x_1x_2+(x_1+ x_2)(x_3+x_4)+ x_3x_4= }[/math]

[math]\displaystyle{ \ =(W^2+K^2)+ (W^2+V^2)-4W^2= V^2+K^2-2W^2 }[/math]

Выразим К через остальные коэффициенты:

[math]\displaystyle{ \ K^2=a+2W^2- V^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \ c= x_1x_2x_3x_4 =W^4+( V^2+K^2)W^2+K^2V^2= W^4+2W^4+aV^2+2W^2V^2- V^4+aW^2 }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \ V^4-(a+ 2W^2) V^2 +c-3W^4 - aW^2=0 }[/math]

Итого

[math]\displaystyle{ \ V^2=1/2(( a+ 2W^2)\pm \sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ b= x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4+ x_1x_3x_4+ x_2x_3x_4 =(W^2+K^2)\cdot(-2W)+ (W^2+V^2)\cdot(2W)=2W(V^2-K^2)= }[/math]

[math]\displaystyle{ \ =2W(2V^2- a-2W^2 )=2W\cdot\sqrt{a^2-4c+ 8aW^2+16W^4} }[/math]

Или [math]\displaystyle{ \ b^2=4W^2\cdot( a^2-4c+ 8aW^2+16 W^4) }[/math]

Отсюда [math]\displaystyle{ \ 64 W^6 +32aW^4+4(a^2-4c) W^2-b^2=0 }[/math]

Заменяя [math]\displaystyle{ \ y=W^2 }[/math], получаем резольвенту, решив которую, находим W

История

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

См. также

Ссылки