Вложенные радикалы

В алгебре вложенным радикалом называется радикал, содержащийся в другом радикале. Например

[math]\displaystyle{ \sqrt{5-2\sqrt{5}\ }, }[/math]

или более сложный пример

[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}\ }. }[/math]

Значения всех вложенных радикалов называются выразимыми в радикалах.

Упрощение вложенных радикалов

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены. Например:

[math]\displaystyle{ \sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}\,, }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} \,. }[/math]

В общем случае упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно. Следующая формула позволяет произвести упрощение в случае, когда [math]\displaystyle{ R=\sqrt{a^2-b^2c} }[/math] рационально:

[math]\displaystyle{ \sqrt{a \pm b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+ R}{2}} \pm \sqrt{\frac{a- R}{2}}. }[/math]

Например,

[math]\displaystyle{ \sqrt{a \pm \sqrt{a^2-b^2}}=\sqrt{\frac{a+ b}{2}} \pm \sqrt{\frac{a- b}{2}} \quad (|a|\ge |b|). }[/math]

В частности, для комплексных чисел ([math]\displaystyle{ c=-1 }[/math]):

[math]\displaystyle{ \sqrt{a+bi}=\pm \left ( \sqrt{\frac{\left | z \right | +a}{2}}+i \sgn(b) \sqrt{\frac{\left | z \right | -a}{2}} \right ), }[/math] где [math]\displaystyle{ \left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}. }[/math]

Бесконечно вложенные радикалы

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение

[math]\displaystyle{ x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}} }[/math]

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

[math]\displaystyle{ x^2 - 2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} = x }[/math];

[math]\displaystyle{ x^2 - x - 2 = 0 }[/math];

[math]\displaystyle{ x_1 = 2, x_2 = -1 }[/math].

Очевидно, что [math]\displaystyle{ -1 }[/math] не может являться значением исходного радикала.

Тривиальные случаи

• Для квадратного корня:

  [math]\displaystyle{ \sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{\cdots}}}}} = \frac{b + \sqrt {b^2+4a}}{2} }[/math];

• Для корня степени [math]\displaystyle{ n }[/math]

  [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{\cdots}}}}} = x, }[/math]

  где [math]\displaystyle{ x }[/math] является решением уравнения [math]\displaystyle{ x^n - b x - a = 0 }[/math].

Нетривиальные случаи

• Формула Рамануджана:

  [math]\displaystyle{ x + n + a = \sqrt{a x + (n + a)^2 + x \sqrt{a(x + n) + (n + a)^2 + (x + n)\sqrt{a(x + 2n) + (n + a)^2 + (x + 2n)\sqrt{\cdots}}}} }[/math]

Частные случаи

• Золотое сечение:

  [math]\displaystyle{ \phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}} }[/math]

• Пластическое число:

  [math]\displaystyle{ \rho = \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3] { \cdots }}}} }[/math]

• Число Пи:

  [math]\displaystyle{ \frac{2}{\pi} = \sqrt\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}}} \cdots }[/math]

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Вложенные радикалы (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Квадратный корень (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
• Simplifying Square Roots of Square Roots (англ.)